Caractéristique d'un corps

[invite57d094d6]

Bonjour, voilà je bloque sur une question qui ne doit pas être très compliquée mais je n'y arrive vraiment pas :

J'ai f un homomorphisme de corps de K dans L (avec donc K et L deux corps), f est donc injectif.
On me demande de montrer que K et L ont même caractéristique...
Quelqu'un pourrait-il m'indiquer un début de réponse ?

Merci

PS : ...et j'ai lu dans un livre qu'on appelait isomorphisme tout homomorphisme injectif mais ce n'est pas dans on cours ! Cela voudrait-il dire que tout homomorphisme de corps est surjectif et que donc tout homomorphisme de corps est en fait un isomorphisme ?
-----

[invitea41c27c1]

J'ai f un homomorphisme de corps de K dans L (avec donc K et L deux corps), f est donc injectif.
On me demande de montrer que K et L ont même caractéristique...
Quelqu'un pourrait-il m'indiquer un début de réponse ?

Essaie de montrer que les morphismes Z->K et Z->L ont meme noyau.

PS : ...et j'ai lu dans un livre qu'on appelait isomorphisme tout homomorphisme injectif

Non c'est faux. Il vaut mieux que tu oublies ca (et peut-etre aussi jeter ton livre au feu).

[invite57d094d6]

Merci pour ton conseil mais je ne suis pas sûr de mon raisonnement :

Je pose g : Z ---> K, n ---> n.1 et h : Z ---> L, n ---> n.1
Je dis qu'on peut écrire h comme f o g (avec f mon homomorphisme de corps injectif de K dans L)

Donc si on prend x dans Ker g, g(x) = 0 d'où h(x) = 0 donc x est dans Ker h,
et si on prend x dans Ker h, h(x) = 0 donc g(x) est dans Ker f et comme f est injectif g(x) = 0 donc x est dans Ker g.

Ca me paraît juste mais je ne sais pas si je peux poser h = f o g comme je l'ai fait...

PS : ...mon livre est parti au feu, merci pour le renseignement !

[Médiat]

Comme le dit Garnet, un homomorphisme n'a besoin d'être ni injectif ni surjectif.

Pour la démonstration, il doit suffire de remarquer que
f(0_K) = 0_L
f(1_K) = 1_L
f(n.1_K) = n.f(1_K)

et que la caractéristique est un nombre premier ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57d094d6]

Merci Mediat pour ton conseil, néanmoins juste une petite question : le fait que f(n.1_K) = n.f(1_L) vient du fait que K et L sont des espaces vectoriels et que donc f joue aussi le rôle de morphisme d'espaces vectoriels ?

...et est-ce que ce que j'ai écris plus haut est juste ou faux ?
Merci.

[invite57d094d6]

...oups petite erreur dans mes indices : j'ai bien sûr voulu dire "f(n.1_K) = n.f(1_K)" !

[Médiat]

Merci Mediat pour ton conseil, néanmoins juste une petite question : le fait que f(n.1_K) = n.f(1_K) vient du fait que K et L sont des espaces vectoriels et que donc f joue aussi le rôle de morphisme d'espaces vectoriels ?

J'aurais pu écrire f(n.1_K) = n.1_L qui exprime simplement qu'un homomorphisme de corps est un homomorphisme pour la loi additive.

[invite57d094d6]

D'accord merci pour cette aide précieuse !