Bonjour.
Quel est l'union de [-i ; 2+6i] et [2+5i ; 6] ?
C'est un peu dure à dire car on ne peut pas comparer deux nombres complexes tels qu'ils sont !
En fait, il s'agit de calculer l'intégrale de x²-3iy sur l'union de ces deux intervalles et montrer que cette intégrale vaut celle calculer sur [-i ; 6i].
L'intégrale sur l'union est la somme des intégrales sur chacun des intervalles ?
Merci !
Bonjour, on ne parle pas vraiment d'intervalle puisqu'il n'y a pas de relation d'ordre surmais plutôt de chemin ou de segment.
Ici, l'union est à prendre au sens d'une union d'ensembles.
Il te faut une paramétrisation de chacun de tes deux segments (
Tu dois alors montrer que
Il y a peut être plus simple mais ça ne m'a pas sauté aux yeux...
la paramétrisation c'est l'intégrale de -i à 6i, non ? je ne peux pas intégrer sur des complexes ? Comment faire alors ? Je ne vois pas !
Merci
je ne vois pas comment paramétrer le segment [-i ; 2+6i]...
Merci de m'aider !
Bonjour,
je ne vois pas comment on a pu te donner un exo où tu intègres sur un segment complexe sans t'avoir donné la définition d'une intégrale complexe dans ton cours au préalable
Si
Pour paramétrer un segment qui va de A à B, on peut considérer le chemin défini par :
j'utilise le théorème de Green-Riemann ?
Donc pour paramétriser [-i ; 2+6i] je fais varier x de 0 à 2 et y de -1 à 6 ?
Pour la première intégrale, on pose z = –i + (2+7i)t avec t de 0 à 1, donc dz = (2+7i)dt, x = 2t et y = 7t–1, donc f(z) = 4t2–21it+3i, et donc f(z)dz = {(8+28i)t2+(147–42i)t–(21–6i)}dt.
Pour la seconde intégrale, on pose z = 2+5i + (4–5i)t avec t de 0 à 1, donc dz = (4–5i)dt, x = 2+4t et y = 5–5t, donc f(z) = 16t2+(16+15i)t+(4–15i), et donc f(z)dz = {(64–80i)t2+(139–20i)t–(59+80i)}dt.
Pour la dernière intégrale, on pose z = –i + 7it avec t de 0 à 1, donc dz = 7i.dt, x = 0 et y = 7t–1, donc f(z) = 3i–21it, et donc f(z)dz = (147t–21)dt.
La dernière retranchée de la somme des deux premières conduit à intégrer de 0 à 1 {(72–52i)t2+(139–62i)t–(59+74i)}dt, soit à calculer la valeur en 1 de {(72–52i)t3/3+(139–62i)t2/2–(59+74i)}, soit (207–734i)/6 si je n'ai pas fait d'erreur.
Donc le résultat serait faux.
bah en fait le cours je le vois tout seul comme un grand ^__^ vu que c'est dure il y a des éléments importants que je laisse malgré les efforts que je fournis pour tout comprendre et mémoriser ! Merci d'être présent...
Merci pour la méthode !!! Je vais essayer de suite.
Apparemment la méthode en question (en fait il n'y en a pas vraiment d'autre) donne un résultat faux si ce qu'a fait breukin est juste. Je te laisse vérifier ses calculs...
CA Y EST !!!!
Effectivement, on trouve que les chemins sur gamma 3 + gamma 2 (leur somme) est différent du chemin sur gamma 1. Conclusion : l'union des deux intervalles n'est pas équivalente à l'intervalle seul (non vérification d'un théorème de Cauchy).
J'ai un autre soucis : j'aimerais la dernière intégrale par la méthode de Green-Riemann... Dans le cours il y a
intégrale sur gamma (f(z)dz) = 2i intégrale double ( df/dz* dxdy) avec z* conjugué de z.
Avec les x et y que vous trouvez, j'ai calculé la dérivée de f par rapport à z* et j'ai trouvé x + 3/2, mais le problème est que x = 0 et que dx = 0, donc le chemin vaut 0, alors qu'avec ce qu'on a fait on trouve 105/2 !... Qu'est-ce que ne convient pas dans cet exemple pour qu'on ne puisse pas appliquer Green-Riemann ? Merci !
En fait il faut que le domaine d'intégration de l'intégrale double, domaine noté K, soit un compact suffisamment régulier. Mais ça veut dire quoI ?
Attention, j'avais bien imaginé que le but était de démontrer que l'intégrale d'une fonction non holomorphe entre deux points dépendait du chemin.
Mais ici, les 3 intervalles ne forment pas un triangle ! Donc même avec des fonctions holomorphes, cela n'a aucune chance de marcher !
Mais peut-être y a-t-il erreur de frappe, il s'agissait de [-i ; 2+6i] et [2+6i ; 6i], auquel cas le triangle est complété par [-i ; 6i] ?
Bonjour,
Eh bien non, il n'y a pas d'erreur de frappe de ma part, mais peut-être de celle de l'auteur de l'énoncé?
Normalement avec ce que vous dites ici ça devrait fonctionner ?
Est-ce que l'énoncé à une suite, pour essayer de comprendre où on veut en venir ?
Un théorème existant dit que l'intégrale d'une fonction holomorphe est indépendant du chemin (avec des conditions sur le domaine, en particulier pour une fonction définie sur C en entier).
D'où l'idée de comparer l'intégrale sur un segment [A,B] puis sur [A,C]+[C,B]. Dans le cas général, pour une fonction non holomorphe, cela sera différent. Mais on peut aussi exhiber des cas où c'est malgré tout égal.
Mais ici, comparer [A,B] à [A,C]+[D,E], je ne vois pas à quoi ça peut servir, sauf à s'exercer à calculer des intégrales.
