3 exos: Série, Matrice

[Anduriel]

Bonjour,

J'ai essayé de faire des exos dont je n'ai pas la correction. Le problème, c'est que je ne parviens pas au bout.
Je vous joins ce que j'ai fait en image, et la où je bloque.

Merci de votre aide.
-----

[acx01b]

salut pour l'exo 3, que peut-on dire si on a ?

[inviteaf1870ed]

pour la série, regarde xf(x²), cela devrait te donner des idées

[aNyFuTuRe-]

et pour l'exo 2: Inegalité sur la trace

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anduriel]

Merci, avec tout ça je vais peut être m'en sortir

[Anduriel]

salut pour l'exo 3, que peut-on dire si on a ?

Je ne vois pas...

pour la série, regarde xf(x²), cela devrait te donner des idées

Avec les premiers termes j'ai factorisé par x puis posé t=x² mais ça ressemble à aucune des fonctions usuelles que je connaisse.

[acx01b]

salut

est la matrice des produits scalaires entre les colonnes de M

si tous ces produits scalaire sont nuls que peut-on dire ?

[invitea6f35777]

Salut,

J'avoue que je ne vois pas non plus comment acx01b montre que
Par contre une fois que tu as diagonalisé il est très facile de dire que les sont nuls puisque ce sont les valeurs propres, si tu prend un vecteur propre associé à alors il est non nul et tu peux regarder que vaut tu trouveras la réponse à ta question je pense.

[invitea6f35777]

autant pour moi je voulais dire

[Anduriel]

Avec ta méthode KerLannais on arrive donc à montrer que t(NN)^n=0 c'est tout non?

Sinon, acx01b, le produit scalaire montre que le produit scalaire d'une colonne avec elle même est nulle, donc qu'elle est orthogonale à elle même, donc qu'elle est nulle? Donc dans ce cas M est nulle c'est ça?
Mais c'est vrai, comment obtient-on t(MM)=0 ?

Merci à vous deux

[invite3c68aec2]

Pour l'exos sur la série entière, j'ai pas trop regarder la tête de la série (bien qu'elle me dise quelque chose mais ca me saute pas aux yeux). Une bonne idée serait de trouver une équation différentielle que vérifie cette série.
Tu dérives formellement (dérivée 1 et 2) et t'essaie de faire une combinaison linéaire de cela afin de tomber sur une fonction connue.
Ca me parait un bon truc à tenter

[invitebfd92313]

tMM est nulle parce qu'elle est a la fois nilpotente et diagonalisable

[invite3c68aec2]

Je confirme ce que dit Hamb (nilpotent + diagonalisable = nul).
Pour conclure, je lancerai comme ca une petite trigonalisation dans C. Je suis pas sur mais ca me semble une bonne idée.

[inviteaf1870ed]

Je ne vois pas...



Avec les premiers termes j'ai factorisé par x puis posé t=x² mais ça ressemble à aucune des fonctions usuelles que je connaisse.

Pose plutot x=t², et multiplie ta série par t.

[invite3c68aec2]

En effet, bonne solution, si jamais la serie ne te saute pas aux yeux quand tu as fait ca derive une fois.

[acx01b]

salut voici ma solution pour l'exo 3

et

on a donc

on a une liste: n "N" suivi de n "tN" on peut échanger 2 éléments consécutifs grâce à donc


comme est diagonalisable on peut poser




A est diagonale et donc A = 0 donc

enfin si pour une famille de vecteurs le produit scalaire entre n'importe lequel de ces vecteurs est nul (donc la norme au carré de ces vecteurs est également nulle), alors tous ces vecteur sont nuls, et comme c'est les produits scalaire entre les lignes de N, N est nul