Série, Fourier, suite, forme quadratique

[Anduriel]

Bonjour à tous,

J'ai plusieurs problèmes vis à vis de mes exos, et pour éviter le flood, je préfère mettre mes 5 exos ici, mais vous pouvez piocher

J'ai: f(t) = serie[ exp(-t)cos(nt)(1/n²+1/n^3) ]
On me demande simplement dans le premier questions l'ensemble de définition D inclu dans R.

Pour moi, le exp(-t) ne change en rien la convergence, ainsi que le cos(nt) qui lui est toujours borné.
Je dirai donc D=R, mais ça me parait louche (notament vu la question d'après). Est ce que c'est ça?

J'ai: f(x) = 1/(L²-2Lcos(x)+1) où L appartient à ]-1,1[
On me demande le DV en série de Fourier.
Le premier chose que je fais, c'est factoriser dans C. Ensuite je calcule les an (car les bn sont nuls) en transformant le cos(nt) par la formule d'Euler. Mon problème: impossible d'intégrer (pour moi). Quelle est la méthode?

J'ai une forme quadratique: 3z²-y²-6racine(2)z+2x-4=0
Si je n'avais pas le x, ça serait pas très dur, mais là il me gène.
En fait la matrice associée est déjà diagonale, de det=0 donc une parabole ou une conique dégénérée. La question est de donner la nature de la quadrique, mais ça me parait un peu gros de dire simplement ça. Mais je ne peux pas aller plus loin: que faire du x?

J'ai la suite un = n + 1/2 - 1/(ln(n²+n+1)-ln(n²+1)).
On me demande l'existence et la limite.
Mon problème c'est l'existence: si je regarde la série u(n+1)-un, elle ne converge pas vers une constante...

J'ai la suite définie par récurrence u(n+1) = 1+cos(un).
On me demande la nature de la série.
Je vois que les termes sont dans [0,1], que la suite est monotone donc qu'elle converge. Ensuite je veux utiliser d'Alembert, mais sans la limite, impossible de dire si c'est >1 ou <1 ou =1. Et comme je ne sais pas si ça tend vers 0, je ne peux faire aucun DL. Comment faire?

Merci de vos éclaircissements
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[Hamb]

Pour le 2e, si tu as déjà factorisé le dénominateur, tente une décomposition en éléments simples.
Pour le 4e, je pense que par existence ils veulent dire justifier que u_n est bien définie. Ensuite pour la limite un simple développement limité doit marcher.
Pour le 5e, tu ne connais pas la limite de u_n, mais tu sais qu'elle existe, dans ce cas donne lui un nom (a par exemple) et essaye de trouver un développement de u_n en posant u_n = a + v_n avec v_n tend vers 0.

[KerLannais]

Salut,

Pour la première question je suis d'accord avec toi le domaine est R tout entier.

Pour la troisième, étant donné que les sections pour y ou z constants sont des paraboles et que les sections à x constants sont des hyperboles à première vue je dirai que c'est un paraboloïde hyperbolique mais j'ai pas fait les calculs.

Pour la cinquième je ne vois pas du tout pourquoi les termes restent dans [0,1] parce que si un=0 par exemple alors u(n+1)=2 (enfin il me semble)

[Anduriel]

Yioups désolé pour la 5ieme c'est u(n+1) = 1-cos(un).

Pour le 1er: ok.

Pour le 2e: j'ai testé la décomposition en élément simple, je m'en suis pas très bien sorti puisqu'ici c'est x la variable (enfin question d'habitude). Mais si c'est ça la méthode je vais continuer de chercher.

Pour le 3e: justement, j'ai un problème avec le calcul, comment procèdes tu?

Pour le 4e: au temps pour moi, dans ce cas ça va!

Pour le 5e: je vois je vois, je vais essayer.

Merci à vous !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4349cd52]

Pour le n°3 :
On commence par éliminer le terme en z en mettant sous forme canonique.
Ensuite avec le changement de variable z'= z - racine de 2 on revient à quelque chose de la forme :
3z'² - y² -2x - 10 = 0

On liquide la constante avec avec le changement de variable x'=x+5
On arrive à 3z'²-y²=2x' => paraboloïde hyperbolique.

Voilà

[Hamb]

si c'est u_n+1 = 1 - cosu_n c'est plus facile parce que la limite sera 1

[KerLannais]

Salut,

Effectivement, si c'est les termes restent dans par contre la limite si elle existe c'est et non pas .

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En effet, si on suppose que


alors par continuité de la fonction on a

et donc si on pose

est un zéro de , il suffit d'étudier la fonction :
pour

donc est strictement décroissante et a donc au plus un zéro. Or donc .

[Hamb]

Oui je suis d'accord pour la limite valant 0 c'était un lapsus dont je m'excuse ^^