Bonjour et bonne année a tous,

Je vous présente mon sujet et mes pistes de travail, a certains endroit j’ai besoin de vos conseils pour me permettre d’avancer et de comprendre, je vous remercie.

Q= -4z²+(y+x)(y-x)+(x+2z²)
A. Ecrire la matrice associée (A), et quelles sont les relations entre Q et A
Q=y²+4xz
002
010
200
On a Q= transposé de X A X (elle est symétrique)
B. Calculer les valeurs propres
V=-2 ; 1 ; 2
C. Déterminer la signature et la nature de la forme quadratique.
Signature (2,1) 2 vap>0 et 1 vap< 0 non ?
Nature : c’est une forme indéterminée.
D. Trouver une base orthonormée de vecteurs propres.
Alors, la base de vecteur propre j’ai trouvé (-1,-2,-1) (0,5 ; 1 ; 0,5) (1 ; 2 ; 1), pour les normé, je calcule leurs normes, et ensuite je les divise par leurs normes… il me semble pour les pour les orthonormés, il faudrait que le scalaire des pdts 2 a 2 soit nul, cpdt, je ne vois pas comment faire…
E. En déduire une décomposition de A=PDP(inverse), en précisant la de valeur de P, D, p(inverse)
La je ne vois pas c’est quoi la proposition des valeurs ? Qu’est ce qu’ils entendent par la ? Juste montrer les différentes matrices ?
F. En déduire une décomposition de la forme quadratique Q sous forme canonique.
La je serai tenté de faire la réduite de gauss mais ils disent en déduire ? il y a une relation ?
G. A partir de la décomposition trouver les sous espaces de F+ et F- tels que :
- Q soit définie positive sur F+
- Q soit définie négative sur F-
La je ne saisis plus du tout ce qu’on me demande… dois je regarder dans les différentes directions pour montrer que c’est une point selle ou c’est autres choses de demandées ?
H. Trouver une autre décomposition canonique
La réduite de gauss je suppose.
I. Quel est le maximum de Q sur la droite dirigée (1,0,-1)
On remplace ?