Forme quadratique et signature

[invitec13ffb79]

Bonsoir,

J'ai la forme quadratique suivante:




1°) On me demande de trouver selon les valeurs de , la signature de , et de déterminer celles pour lesquelles est définie positive.

Pour le moment, j'ai trouvé que si , alors , si d'où . Cela ne me paraît pas très correct.. Mais comment savoir toutes les valeurs de (particulières ou pas) qu'il faut considérer dans ce type de question?

Pour ce qui est de la deuxième partie de la question, je crois savoir que est définie positive ssi dans notre cas, il me suffira donc de considérer la ou les valeurs de pour lesquelles on a cette signature.

2°) Ensuite, je cherche à savoir pour quelles valeurs de , est non-dégénérée. Or, je sais que est non-dégénérée ssi , avec le nombre de termes positifs dans le développement en carrés de , et la dimension de l'espace, ici . Du coup, je suppose qu'il faudra ici que j'utilise les résultats de la question précédente pour conclure ?
D'autre part, je crois savoir que est dite non-dégénérée ssi . Comment calculer le rang d'une forme quadratique ? En passant par sa représentation matricielle dans la base canonique de ?

Merci d'avance !
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[invite1237a629]

Bonjour,

Pour la première question, il faut que tu réduises la forme quadratique.

(2a+1)x²+2ay²+(2a+1)z²-2xz

On regroupe les termes en x :
[(2a+1)x²-2xz] + 2ay²+(2a+1)z²

Si , on a :







Voici ta forme réduite. Maintenant, étudie selon les valeurs de a les signes des coefficients qui sont devant les carrés. Et bien sûr, étudie le cas où a=-1/2 (i.e. 2a+1=0)

[invitec13ffb79]

Merci de m'avoir répondu, l'étude est plus facile à présent.
Une autre question du même ordre cependant: dans le cas où j'ai une expression de q sans carrés, par exemple:



Comment s'y prend-on pour faire la réduction en carrés?