Bonjour,
J'ai une question qui me fait du mal. J'ai besoin d'aide !!
Dans la démonstrartion du théorème
"Le point x de E est adhérent à la partie A de E si, et seulement s'il existe une suite d'éléments de A qui converge vers x"
Début de la démonstration :
"Soit (xn) une suite d'éléments de A qui converge vers x..."
Mais attendez, pourquoi cette suite existerait ? Quel théorème le prouve ?
Note : E est un espace vectoriel normé.
Je vous remercie.
Bah manifestement, cette partie de la démo sert à montrer que si il existe une telle suite, le point est adhérent...
donc si on veut démontrer ça, on se place dans des conditions où une telle suite existe...
quand tu veux démontrer que p implique q, tu supposes que p est vrai, non ?
en fait, dans un exercice,
"Soit A une partie non vide de E, EV normé de dimension finie. On définit d(x,A)=infy de Ad(x,y) : montrer que l'application x->d(x,A) est continue.
En déduire que F fermé équivaut à "x de F <=> d(x,F)=0" "
La première partie, pas de problème.
La deuxième partie, => : pas de problème.
<= : le corrigé raisonne comme pour la démonstration : "considérons alors une suite convergente à valeurs dans F, notée (yn) et appelons x sa limite."
Je suis un peu choqué qu'on puisse admettre aussi facile l'existence d'une telle suite ! Ca voudrait dire qu'on peut construire, dans tout EV normé, une suite convergent vers tous les éléments de cet EV normé, donc tous les éléments sont adhérents à cet EV normé, qui est donc fermé.
Donc tous les EV normés seraient des fermés ! Non, c'est hors de question...
Par contre, on peut montrer que tout sev d'un ev normé est fermé (exercice d'après)...
l'exercice n'est pas clair, mais le "x de F" suppose qu'il y a des éléments qui ne sont pas de F, dons F serait inclu dans un espace plus grand que lui.
Ce serait un sev de l'ev en question. Les exercices se concorderaient alors.
Finalement, qu'est-ce qui fait qu'on puisse créer une suite dans un ev normé ???
Si F est vide, l'équivalence est vérifiée (si l'on considère que l'inf de l'ensemble vide vaut l'infini, par exemple).<= : le corrigé raisonne comme pour la démonstration : "considérons alors une suite convergente à valeurs dans F, notée (yn) et appelons x sa limite."
Je suis un peu choqué qu'on puisse admettre aussi facile l'existence d'une telle suite !
Sinon, on peut prendre par exemple des suite constantes à valeurs dans F ; elles sont bien convergentes... L'existence de telles suites n'est pas un problème.
Uh ? Dans un espace muni d'une topologie séparée (donc a fortiori dans un espace vectoriel normé), une suite convergente ne peut avoir qu'une valeur d'adhérence.Ca voudrait dire qu'on peut construire, dans tout EV normé, une suite convergent vers tous les éléments de cet EV normé, donc tous les éléments sont adhérents à cet EV normé, qui est donc fermé.
Disons plutôt que dans tout espace vectoriel normé, pour tout point de cet espace, tu peux construire une suite convergeant vers ce point. Ce qui est totalement trivial ; il suffit de prendre une suite constante.
Enfin, je ne vois pas en quoi la conclusion te choque : en topologie, l'espace dans lequel on travaille est toujours un fermé de cet espace (de même qu'un ouvert). Si l'on fait de la topologie dans un espace vectoriel normé, cet espace est fermé...
C'est vrai en dimension finie, faux en dimension infinie (cf. fonctions polynomiales dans l'ensemble des fonctions continues sur [0,1]).Par contre, on peut montrer que tout sev d'un ev normé est fermé (exercice d'après)...
Pas du tout ! Tu précises juste que tu te places dans F, pas dans {0,1}, ni dans {cheval blanc, Henri IV}...l'exercice n'est pas clair, mais le "x de F" suppose qu'il y a des éléments qui ne sont pas de F, dons F serait inclu dans un espace plus grand que lui.
C'est pourtant un résultat trivial :Envoyé par julien_4230
l'ensemble vide, et l'espace entiers sont à la fois des ouverts et des fermés, c'est généralement l'exemple donné aux élèves pour leur montrer qu'un ensemble peut être à la fois ouvert et fermé.
Ce qui est moins évident est que les sev sont aussi des fermés.
Et je ne voispas ce qu'il y a de choquant à considérer une suite convergente à valeur dans un espace vectoriel...il suffit par exemple de prendre la suite nulle, qui vaut 0 pour tout n.
Je vous remercie de vos réponses.
Voilà alors précisément le problème : quel théorème/axiome/propriété/... peut nous permettre de considérer des suites ? Je ne peux pas admettre que ce soit intuitif...
Merci à vous.
Une suite n'est qu'une succession ordonnée de valeurs d'un ensemble... à partir du moment où l'ensemble est non vide, il suffit de prendre une suite constante...où est le problème ?
Okay, okay, j'entends bien cela, c'est du "pris à l'arrache", mais il n'existe alors aucune propriété sur la "création gratuite" d'une suite d'éléments d'un evn ???
Tu parles d'ensemble, Thorin, on peut parfaitement élargir notre discussion à celle des ensembles. Eh bien, si cet ensemble contient des éléments, nous pouvons créer une suite de quelques uns de ces éléments. Question : la rigueur mathématique impose un raisonnement, une propriété, ou autre assertion relatif à la "création gratuite" d'une telle suite. Où est cette assertion ?
Oui, à moins que ta suite soit constante, je comprends.
Mais attends deux secondes, ça veut dire que tu peux prendres n'importe quelle suite constante ?! Mais je n'adhére pas trop à cette démarche, car comment fais-tu alors pour prouver que les éléments d'une suite appartenant à une partie converge vers une autre partie d'un evn ? Tu ne pourrais pas démontrer le théorème plus haut (x adhérent <=> il existe une suite qui cv vers x...).
Pourquoi ?Tu ne pourrais pas démontrer le théorème plus haut (x adhérent <=> il existe une suite qui cv vers x...)
de toute façon, le fait que tout élément d'un ensemble est un point adhérent de cet ensemble est une trivialité.
Là où c'est plus dur, et où les suites constantes ne suffisent plus, c'est lorsqu'on s'intéresse aux points adhérents qui ne font pas aprtie de l'ensemble étudié.
Voilà pourquoi la démonstration du théorème en question est impossible, car la suite convergent vers x appartient à l'ensemble étudié. Si elle était constante, cette suite serait à l'extérieure de l'ensemble, et on ne pourrait conclure que l'intersection d'une boule ouverte de centre x et de l'ensemble ne serait pas vide.
Tu comprends mon problème ?
je n'ai pas dit que pour démontrer le théorème, une suite constante était forcément suffisante, j'ai cité les suites constantes simplement pour montrer qu'il existe des suites convergentes , à valeur dans l'espace...
Mais dis exactement dans quelle partie de la démonstration tu bloques.
"Soit (xn) une suite d'éléments de A qui converge vers x..."
C'est ça qui m'embête, cette suite vient du ciel.
Après tu peux me dire qu'on peut crée une suite dans tout ensemble l'éléments, mais cet argument est intuitif (à moins que ce soit un théorème, une proposition, quelque chose qui est démontrable, dans ce cas là : nom ? où est la démonstration ? on n'en parle pas dans les livres de prépa... [NB: j'ai peut-être râté un épisode!])
Je te remercie.
Amicalement,
Et c'est dans une démonstration qui est censée démontrer quoi exactement, ça ?
J'ai mis l'énoncé au tout début. Tiens je te le remets ici :
"Le point x de E est adhérent à la partie A de E si, et seulement s'il existe une suite d'éléments de A qui converge vers x"
Tu n'as pas vu ce théorème ? Je ne sais pas pour MP, mais on le voit en PSI*
Si c'est pour démontrer que si
"si il existe une suite d'éléments de A convergent vers x, alors, x est adhérent à A", il doit y avoir beaucoup de démonstrations que tu n'as jamais comprises...
Alors le truc, c'est que pour démontrer la réciproque, je suis d'accord avec toi que tu suppose que la suite existe.
Mais dans l'exercice plus haut, le corrigé a admis l'existence de cette suite d'éléments de F pour démontrer que x est adhérent à F. Il n'y a rien qui, pourtant, justifie l'existence de cette suite.
Mais non mais non j'ai très bien compris la démonstration, mais relie-la à l'exercice avec F fermé équivaut à "x de F <=> d(x,F)=0"
.................édit
Il faut distinguer deux choses :
-l'existence d'une suite à valeurs dans une partie, et convergent vers un élément n'appartenant pas à la partie
-l'existence d'une suite convergente.
Dans le premier cas, effectivement, l'existence d'une telle suite n'a rien de trivial.
Mais ce n'est pas ce que fait ton corrigé.
Ton corrigé est dans le deuxième cas, il se donne une suite convergente, sans rien présupposer de sa limite. Et dans ce cas, l'existence de cette suite est complètement triviale.
A-t-il raison ?
Si le "a t il raison ?" s'adresse aux autres membres du forums pour savoir si je raconte pas des conneries, alors, je me donne raison;
si c'est pour savoir si le corrigé est bon, alors, je donne raison au corrigé.
En effet, dans le sens "<==", qui est celui qui a l'air de t'embête, on cherche à démontrer que si on est dans certaines conditions, alors F est fermée.
Or, pour démontrer que F est fermé, une méthode standard est de se donner une suite convergente qui prend ses valeurs dans F, et de montrer que la limite appartient aussi à F.
Et c'est bien comme ça que ton corrigé démarre : il se donne une suite convergente, d'éléments de F. Il nomme "x" la limite, et je suppose qu'à la fin, après quelques raisonnements, il conclut par "donc x appartient à F".
Siest un espace métrique.
alors
Quel inclusion te pose problème?
le "il" de "a-t-il raison ?" désignait en effet mon corrigé. Ici on ne raconte pas de conneries c'est pour cela que je suis là
tu parles de "une méthode standard", mais elle ne semble pas être vraie pour tous les ensembles, surtout si ceux-là n'admet pas de suite d'éléments (pour une raison x ou y).
Cordialement,
Ton A barre c'est l'adhérence de A n'est-ce pas ? Là tu as mis le théorème énoncé plus haut sous forme de langage mathématique, pas vrai ?
En fait Antho,mon problème est qu'il y a le fameux exercice dont Thorin et moi parlons depuis tout à l'heure, qui consiste à prouver qu'un espace F est fermé par ce théorème en question. Le corrigé a imédiatement présupposé, comme l'a justement dit Thorin, l'existence d'une suite convergente vers x.
Qu'est-ce qui a ammené le corrigé à faire une telle présupposition ?
Je vous remercie tous de votre participation.
A partir du moment où un ensemble est non vide, on n'a de toute façon aucun problème pour définir une suite, en prenant par exemple une suite constante.
Et la définition de telles suites ne pose aucun problème métaphysique.
Après tout, qu'est-ce qu'une suite ?
c'est une application de N dans l'ensemble.
qu'est-ce qu'une application f de N dans un ensemble A ?
c'est une triplet (N,A,T), où N et A sont des ensembles, et T le graphe, ie l'ensemble des couples (n,f(n)), avec n dans N.
Donc, si je nomme a un élément de l'ensemble A (je suppose A non vide), je n'ai qu'à prendre
LA seule difficulté est de savoir si T mérite bien le nom d'ensemble, mais ça, ce sont des considérations écartées du programme de prépa.
Edit : effectivement, son A barre est l'adhérence de A, et son égalité est une formulation possible du théorème.
oui,
La preuve de ce truc la c'est bon?
Apres la d(.,A) c'est le inf d'un ensemble
Autrement dit
d(x,A)=0 veut dire
donc par définition d'une borne inférieur
il existe une suite de l'ensemble qui tend vers ce inf
donc il existe une suite yn dans A tels que d(yn,x)->0
Oui je suis d'accord avec vous.
Antho, j'ai bien compris ton théorème, et il est une autre formulation de la démonstration que je connais.
Maintenant regardes la réciproque. tu vas supposer l'existence d'une suite qui converge vers x.
Dans l'exercice en question, le corrigé présuppose que cette suite existe.
Mais qui lui dit qu'elle existe vraiment ? De plus, cette suite ne peut être constante, car sinon le théorème n'aurait pas de sens.
Je vous remercie
je vous marque le théorème + la démonstration.
Théorème : le point x de E est adhérent à la partie A de E si, et seulement s'il existe une suite d'éléments de A qui converge vers x.
Démonstration :
1) Soit (xn) une suite d'éléments de A qui converge vers x et r>0. Puisque la suite (xn) converge vers x, il existe p tel que xp appartient à BO(x,r). Donc l'intersection de A et de BO(x,r) est non nulle.
2) Réciproquement, pour tout p de N, il existe xp dans A tel que xp appartient à BO(x,1/2p). La suite (xn) d'éléments de A converge vers x.
En fait mon livre "crée gratuitement" des suites.
