Topologie

[invite7ffe9b6a]

La réciproque de quoi, de la propriété ou de l'exercice?
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[invite92876ef2]

Si est un espace métrique.



alors

La réciproque de cela.

EDIT : non excuse-moi j'ai mal compris ta phrase. Mais cette dernière vient du théorème dont il est question... En fait le problème est dans la démonstration de mon livre qui "crée gratuitement" des suites.

Je vous remercie tous.

[invite7ffe9b6a]

En particulier les voisinages proposés

[invite92876ef2]

C'est drôle, tu tournes la démonstration avec des outils bien plus convaincants. Que penses-tu de celle de mon livre ?

En fait le terme hyper important et non employé par mon livre, c'est BORNE INFERIEURE.

Là, je suis parfaitement convaincu sur l'existence d'une suite. Okay.

[invite92876ef2]

Humm attends je réfléchis...... Où voit-on une borne inférieure dans le théorème en question ? x n'est pas une borne inférieure de A.

[invitec317278e]

Il n'y a pas de quoi être choqué par un livre qui affirme l'existence d'une suite convergente à valeurs dans un ensemble non vide...
Il n'y a rien de profond ou de subtil la dessous, c'est pas plus compliqué que d'affirmer l'existence d'une matrice remplie de 0...

[invite7ffe9b6a]

C'est drôle, tu tournes la démonstration avec des outils bien plus convaincants. Que penses-tu de celle de mon livre ?

c'est la même mais en plus vite.


Le sens (existe suite balbla ) --> x est dans l'adherence c'est bon?

Le deuxieme

Soit x dans l'adherence de A.

Alors tout voisinage de x intersecte A
En particulier les boules ouvertes centré en x et de rayon 1/(n+1) (par exemple)

cela veut dire que



alors



donc xn(suite d'elements de A) tend vers x

[invite7ffe9b6a]

Humm attends je réfléchis...... Où voit-on une borne inférieure dans le théorème en question ? x n'est pas une borne inférieure de A.

ici je parlait de l'exercice..... (dans un post de la premiere page)
pas de la propriete énoncé

[invite7ffe9b6a]

en fait, dans un exercice,

"Soit A une partie non vide de E, EV normé de dimension finie. On définit d(x,A)=inf_{y de A}d(x,y) : montrer que l'application x->d(x,A) est continue.

En déduire que F fermé équivaut à "x de F <=> d(x,F)=0" "

La première partie, pas de problème.

La deuxième partie, => : pas de problème.
<= : le corrigé raisonne comme pour la démonstration : "considérons alors une suite convergente à valeurs dans F, notée (y_n) et appelons x sa limite."

Je suis un peu choqué qu'on puisse admettre aussi facile l'existence d'une telle suite ! Ca voudrait dire qu'on peut construire, dans tout EV normé, une suite convergent vers tous les éléments de cet EV normé, donc tous les éléments sont adhérents à cet EV normé, qui est donc fermé.

Donc tous les EV normés seraient des fermés ! Non, c'est hors de question...

Par contre, on peut montrer que tout sev d'un ev normé est fermé (exercice d'après)...

ce post là

[invite92876ef2]

Okay très bien, je suis d'accord avec toi, mais qu'est-ce qui te prouve :

cela veut dire que

Autrement dit, qu'est-ce qui te prouve, sur quoi te bases-tu, sur quel théorème, proposition, ou autre assertion te bases-tu pour affirmer l'existence de Dieu... euh pardon de la suite en question ?

[invite7ffe9b6a]

Okay très bien, je suis d'accord avec toi, mais qu'est-ce qui te prouve :



Autrement dit, qu'est-ce qui te prouve, sur quoi te bases-tu, sur quel théorème, proposition, ou autre assertion te bases-tu pour affirmer l'existence de Dieu... euh pardon de la suite en question ?

Le fait que tout voisinage de x intersecte A.

Pour tout n je considere le voisinage

B(x,1/(n+1) )

Ce voisinage intersecte A, cela veut dire que son intersection avec A est non vide
donc qu'il existe un element xn qui est à la fois dans A est dans cette boule.

Je construis la suite comme cela

[invite7ffe9b6a]

Es-tu d'accord avec ceci



?

[invite92876ef2]

donc qu'il existe un element xn qui est à la fois dans A est dans cette boule.

Je construis la suite comme cela

Nous allons y arriver...

Comment peux-tu te permettre de construire une suite sans connaitre, dans certains ensembles, les éléments ? il y a un théorème de construction ? on construit les suites n'importe comment ? Selon ce qu'il nous arrange le plus ?

[invite7ffe9b6a]

Nous allons y arriver...

Comment peux-tu te permettre de construire une suite sans connaitre, dans certains ensembles, les éléments ? il y a un théorème de construction ? on construit les suites n'importe comment ? Selon ce qu'il nous arrange le plus ?

Je sais qu'il en existe .
J'en CHOISIS un, n'importe lequel.

Je n'ai pas encore étudié cette chose là mais peut etre utilise t-on ici l'axiome du choix

[invite92876ef2]

Aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaah VOILAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAA BINGOOOOOO

Enfin une piste... l'axiome du choix... C'est intéressant ça, voyons voir ce que c'est.

[invite92876ef2]

Regardez sur wikipedia l'axiome DC, qui me parle beaucoup!

Je vous remercie beaucoup de la participation très active que vous avez eu pour ce topic.

Bien cordialement,

[invite7ffe9b6a]

Oui mais en faite ici, on est dans un cas dénombrable.
Je viens de lire l'article de wikipedia, on utilise l'AD en faite

[invitec317278e]

Ceci dit, autant, dans :

2) Réciproquement, pour tout p de N, il existe xp dans A tel que xp appartient à BO(x,1/2p). La suite (xn) d'éléments de A converge vers x

, on utilise l'axiome du choix, autant, dans ce que tu disais avant, on ne l'utilisait pas, et finalement, je ne vois pas du tout le rapport entre ton problème et ton exercice...

[invite92876ef2]

Ah oui je n'ai pas lu l'axiome AC, je n'ai pas eu le temps je lierai l'article plus tard.

Bah le corrigé à sélectionné "gratuitement" une suite. Cette sélection "gratuite" a une origine qui est l'axiome du choix.

[invitec317278e]

Non, ce n'est pas la même chose qui est utilisée dans la démo que je viens de citer, et dans le corrigé de ton exo.

Dans ton corrigé, on dit juste "soit une suite", mais ce n'est pas différent de dire "soit un réel", car on sait qu'il existe des suites, de même qu'on sait qu'il existe des réels.
Et pour montrer qu'il existe des suites, on peut par exemple montrer qu'il existe des suites de valeur constante. Pour construire une telle suite, on ne fait pas un nombre infini de choix, on fait un choix, une fois, et on le garde pour tous les n ; on n'a donc pas besoin de faire appel à l'axiome du choix.

D'ailleurs, la démarche dans les deux cas n'est pas la même.
Pour la démo du théorème de cours, on construit une suite de manière à ce qu'elle réponde à certains critères, de manière à montrer l'existence d'une suite répondant à certains critères.
Pour l'exo, on raisonne simplement sur toutes les suites convergentes, mais on ne construit pas de suite spécifique.

[invite92876ef2]

on fait un choix, une fois, et on le garde pour tous les n ; on n'a donc pas besoin de faire appel à l'axiome du choix.

Tu parles de faire en choix et tu dis qu'on n'a pas besoin de faire appel à l'axiome du choix ?

Pour la démo du théorème de cours, on construit une suite de manière à ce qu'elle réponde à certains critères, de manière à montrer l'existence d'une suite répondant à certains critères.
Pour l'exo, on raisonne simplement sur toutes les suites convergentes, mais on ne construit pas de suite spécifique

Mais la construction de cette suite correspond au choix qu'elle réponde à certains critères. On a le choix de construire une autre suite répondant à d'autres critères, ce n'est pas interdit. Rien n'implique de manière stricte la construction de ces suites. Qui plus est, pour l'exo on construit effectivement une suite, mais qui converge. Je ne vois pas ce que tu veux dire par "spécifique", peux-tu t'expliquer ?

[invitec317278e]

Tu parles de faire en choix et tu dis qu'on n'a pas besoin de faire appel à l'axiome du choix ?

le fait qu'il soit appelé axiome du choix n'est qu'une dénomination, cela ne veut pas dire qu'on fait appel à lui dès qu'on fait un choix.

En fait, lorsque l'on fait un seul choix isolé, on n'en a pas besoin.
Lorsque par exemple, on sait qu'il existe des bases d'un espace vectoriel, on n'a pas besoin de l'axiome du choix pour dire "soit B une base de l'espace vectoriel", car on choisit simplement une base.
De même, lorsque l'on construit une suite constante, on ne fait qu'un choix : on fait le choix de la valeur de la suite, et on l'attribue à tout n, pas besoin de refaire 36fois ce choix.
En fait, pour l'exo, on ne "construit" pas de suite, ce n'est pas la peine ! On sait qu'il existe des suites convergentes à valeurs dans l'ensemble (parce que s'il n'en existait pas, alors, en particulier, il n'existerait pas de suite constante, ce qui est absurde ! ), à partir du moment où l'on sait qu'il en existe, on se donne une suite convergente, mais peu importe laquelle, on s'en donne une, point barre, on ne la construit pas. Ce n'est pas différent d'un raisonnement qui commencerait par :
"Comme l'ensemble X est non-vide, il contient au moins un élément ; appelons x cet élément". Je suppose que quand un raisonnement commence comme ça, tu es d'accord avec lui, non ? tu ne te demandes pas si on a oui ou non le droit de prendre un élément de x, car il faudrait le construire ?
De la même manière, on a le droit de se donner une suite, sans axiome du choix.


En revanche, lorsque l'on fait un nombre infini de choix, on utilise l'axiome du choix ; c'est l'axiome du choix qui nous autorise à prendre un élément dans chaque ensemble lorsque l'on a un nombre infini d'ensembles.
Et pour le coup, lorsque l'on veut construire une suite telle que dans la démo de cours (ie, quelque soit n, la suite est dans une boule de rayon 1/n), là, on a un nombre infini de choix à effectuer : on a un choix à faire pour chaque boule de rayon 1/n, et il y a une infinité de boules de rayon 1/n.
Là, on utilise effectivement l'axiome du choix.

[Médiat]

Lorsque par exemple, on sait qu'il existe des bases d'un espace vectoriel, on n'a pas besoin de l'axiome du choix pour dire "soit B une base de l'espace vectoriel", car on choisit simplement une base.

Mauvais exemple, pour démontrer que tout espace vectoriel admet une base, il faut utiliser l'axiome du choix (dans le cas de dimension infinie).

[invitec317278e]

Oui, mais ce n'est pas là où je voulais en venir ; je disais que lorsqu'on sait qu'il en existe, donc après avoir utilisé l'axiome du choix (pour la dimension infinie), on n'a plus besoin de l'utiliser pour en choisir une au
pif.