intégrale par changement de variables!!

[invited2fe2f6a]

bonjour
en ce qui concerne, l'intégrale d'une fonction par changement de variables, comment ça se passe!!!! en d'autre termes, quel est le principe de ce changement, et ses répercussion sur un l'intervale donné???
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[invitea6f35777]

Salut,

si tu prends une fonction continue sur un segment (à valeurs dans ou ) alors elle admet une primitive , c-a-d une fonction dérivable sur telle que , dans ce cas l'intégrale de sur le segment est donnée par:

(dans le cas d'une fonction continue par morceaux on peut toujours découper l'intégrale à l'aide de la relation de Chasles pour se ramener dans ce cas). Si tu considère maintenant une fonction dérivable dont la dérivée est continue de dans et que tu considère:

alors G est dérivable sur comme composée de fonctions dérivables et:

Je note , alors est continue sur et admet comme primitive, on a donc:

Si on remplace on a:

On obtient la première formule de changement de variables, qui est valable même si le changement de variables n'est pas inversible:
(1)
Maintenant, si tu suppose que est bijective, et si tu notes et (à ne pas confondre avec et ) alors
(2)
on dit qu'on effectue le changement de variable . En général la première formule s'utilise quand on veut éliminer un terme compliqué de l'intégrale, auquel cas il faut que le apparaisse (ou bien il faut le faire apparaître), la deuxième formule s'utilise quand on veut introduire un terme . Ces formules sont un peu affreuses à retenir, mais elles se démontrent très simplement comme tu peux le constater (enfin si tu as compris ma démonstration bien sûr), un moyen mémotechnique est de dire qu'on remplace:
par
par
pour se souvenir on peut dire que:
""
(en fait il y a un formalisme qui permet de donner un sens à la formule entre guillemêts et dans ce cas on est pas obligé de mettre des guillemets)
car

(où la notation est une notation beaucoup utilisée en physique mais aussi en mathématiques parfois qui désigne la dérivée de par rapport à ).
Pour les bornes, dans le cas de la première formule on dit que:
"quand va de à , va de à car
pour la deuxième formule on dit que
"quand va de à , va de à car "

exemples:

1-

on utilise la première formule, on fait le changement de variables

le terme apparaît dont tout va bien, on remplace par , par [TEX]dx[TEX] et on dit que quand va de à alors va de à car . On obtient:


2-

on utilise la deuxième formule, la fonction est bijective de dans on peut faire le changement de variable (ou ) on remplace
par et quand va de à , va de à . On obtient donc

[invited2fe2f6a]

merci beaucoup kerlannais... tu m'as fait comprendre en un 1mail, ce qu'un prof n'a pu faire en 2 heur et 2 pages... j'admet que les maths c'est pas mon domaine et loin d'ètre mon module préférai, mais si le tière de nos profs à la filière science-médicale, éxpliquai comme ça, nous serions plus nombreux à s'y intérésser....... et encore merci...

[invitea6f35777]

Content que ces explications répondent à ta question et merci pour le compliment

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