Solution unique

[invitec14ef5d7]

Salut à tous!

Voila, mon problème était de trouver la solution approchée d'un système Ax = b si il n'était pas possible au départ. Jusque là, pas de souci, j'utilise gram-Schmidt et la méthode des moindres carrés et je trouve un nouveau b' (projection orthogonale). Jusque là no problemo!

Ensuite je voudrais justifier pourquoi la solution du système 'x' va être unique en utilisant par exemple (j'étais parti sur ca) le rang de la matrice (A|b'). Prenons par exemple:



La solution approchee b' sera =

Le rang de ma matrice (A|b') sera bien de rang 2, non?

Comment justifier l'unicité de la solution 'x'? (Avec le rang ou autre chose)

Merci beaucoup
-----

[invitec14ef5d7]

Alors en fait, je sais que si la matrice est de rang n ou n est la dimension de mon vecteur solution, j'aurai une solution unique!

Ca coincide avec l'exemple ici!

Mais comment le démontrer?

Merci

[invitea41c27c1]

A est de rang 2 donc est injective.

[sylvainc2]

Alors en fait, je sais que si la matrice est de rang n ou n est la dimension de mon vecteur solution, j'aurai une solution unique!

Ca coincide avec l'exemple ici!

Mais comment le démontrer?

Merci

Premièrement, la solution de Ax=b' existe car b' est la projection ortho de b sur im(A) donc b' est dans im(a).

Ensuite, si cette solution n'est pas unique, c'est que x peut s'écrire sous la forme x=x_i + x_k, où x_i est dans im(A) et x_k dans ker(A) et x_k <> 0. En effet: Ax=b'
--> A(x_i+x_k)=b'
--> Ax_i + Ax_k = b
--> Ax_i + 0 = b'
C'est donc qu'ajouter un vecteur de ker(A) à x_i donne quand même une solution.

Pour que la solution soit unique il faut donc que x_k = 0, c.a.d. que ker(A)=0. C'est le cas quand les colonnes de A sont libres, c.a.d. rang(A)=nb colonnes de A=dim du vecteur solution. Si ce n'était pas le cas(si ker(A)<>0), ca voudrait dire que, si A1 et A2 sont les colonnes de A, et x=(x1,x2) alors Ax=0 --> x1*A1+x2*A2=0 et que x1 et x2 ne sont pas tous 0 ce qui contredit que les colonnes de A sont libres.

[A voir en vidéo sur Futura]