Petits problèmes de probabilités

[inviteedb947f2]

Bonjour à tous,

J'ai des examens de probabilités la semaine prochaine, et dans mes annales, je trouve plusieurs fois le même exercice, sous des formes diffèrentes, que je n'arrive pas à résoudre...

Les voici :

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Soit X un variable aléatoire intégrable positive.
Ecrire la fonction de survie (S) de X comme l'espérance d'une indicatrice, et montrer :



Je ne vois pas comment exploiter l'indication du début...

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Soit (Xi) une suite de variable aléatoires réelles positives indépendantes et toute de même loi.
Soit N une variable aléatoire dans N*



Calculer ES

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Merci d'avance pour votre aide

Cordialement,
Deeprod
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[invite392a8924]

:





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Calculer ES






Deeprod

puisque l'esperence mathématique est lineaire donc

bonne chance.

[inviteedb947f2]

Le problème est que N, n'est pas une constante, mais une variable aléatoire discrète.
Donc je ne pense pas que tu puisses conclure aussi simplement.

[inviteaeeb6d8b]

Bonsoir,

c'est une égalité classique, et on utilise généralement le théorème de Fubini pour la démontrer :

Astuce :


Alors :


Fubini-Tonelli (tout est positif) :

si désigne la fonction de survie de .

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteedb947f2]

Merci très bien !

Et d'autres idées pour le premier problème ?

[inviteaeeb6d8b]

Pour le second problème, tu peux commencer par écrire :

[invite8ceee9a1]

Tu as juste à utiliser les probabilités conditionnelles
E(S) = E(E(S|N=n))=E(n*E(X))=E(X)*E(N )

[inviteaeeb6d8b]

L'écriture de b0uh34 n'est pas très rigoureuse... Il faudrait écrire :



Avec l'écriture que j'ai proposée, on utilise la formule démontrée à la question 1 (et on utilise pas l'espérance conditionnelle) :


On conclut avec l'égalité du premier problème dans le cas discret. Pour une variable aléatoire à valeurs dans :



(j'ai supposé l'indépendance des variables aléatoires et )

[inviteedb947f2]

Merci pour tout !

En ce qui concerne le deuxième problème, on propose aussi une autre methode.
Trouver l'esperance de S sachant que

(produit de convolution)

Je reviens à la def de l'esperance, mais je ne sais pas comment exploiter le dPs...