Exercices (sur les complexes)

[invite42f885fe]

Plusieurs exos pas trop difficile je pense mais j'arrive pas à trouver...

Résoudre :
Z^3-(5-3i)Z²+(6-11i)Z+2+16i = 0

J'ai cherché une solution pour l'équation 3Z²-11Z+16 = 0 mais celle si n'est pas solution de l'autre partie de l'équation...
Alors je ne vois plus trop comment faire...

Montrer que les 3 propositions suivantes sont équivalentes :
(1) ABC équilateral
(2) a²+b²+c² = ab + bc + ac
(3) j (ou j²) est solution de az²+bz+c=0

(avec A (a), B (b), C (c) distincts)

Je n'ai su faire que (1) <=> (2) mais pour la 3eme... ??

Soient a,b,c dans C. / |a|=|b|=|c|=1 (a,b,c différents)
Montrer Arg((c-b)/(c-a))=(1/2)Arg(b/a) [Pi]
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[invite14e03d2a]

Salut!

Plusieurs exos pas trop difficile je pense mais j'arrive pas à trouver...

Résoudre :
Z^3-(5-3i)Z²+(6-11i)Z+2+16i = 0

J'ai cherché une solution pour l'équation 3Z²-11Z+16 = 0 mais celle si n'est pas solution de l'autre partie de l'équation...
Alors je ne vois plus trop comment faire...

C'est quoi "l'autre équation"?? J'imagine que tu cherches d'abord une solution réelle mais ce n'est pas une évidence.
Si tu ne trouves pas de solution réelle, cherche une solution imaginaire pure

Soient a,b,c dans C. / |a|=|b|=|c|=1 (a,b,c différents)
Montrer Arg((c-b)/(c-a))=(1/2)Arg(b/a) [Pi]

C'est juste le théorème de l'angle inscrit (j'espère ne pas me tromper de nom) qui est un résultat classique.
A moins que le but de la question est de redémontrer complétement le théorème à l'aide des complexes...

Cordialement

[invite42f885fe]

En fait j'ai d'abord cherché à voir si la solution (relle ou imaginaire) de l'équation 3Z²-11Z+16=0 pouvait convenir à l'ensemble de l'équation, donc que cette solution soit solution de Z^3-5Z²+6Z+2=0

Ce qui n'a pas été le cas...

Donc je ne vois pas trop comment m'y prendre...

Euh un angle inscrit c'est quoi ?

[invitedb2255b0]

Je ne suis qu'au lycée, mais pour résoudre des équation du type on en transformais l'équation pour la mettre de la forme:
(z+d)(az^2 + bz + c)

Peut-être que ça t'aideras , les bonnes vielles methode sont souvent les meilleurs !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite42f885fe]

Merci ^^

J'ai déjà essayé mais il faut trouver une racine évidente... Pas évident :-/

[NicoEnac]

Bonjour,

Il existe une solution imaginaire pure. Cherche dans cette direction.

[invite14e03d2a]

En fait j'ai d'abord cherché à voir si la solution (relle ou imaginaire) de l'équation 3Z²-11Z+16=0 pouvait convenir à l'ensemble de l'équation, donc que cette solution soit solution de Z^3-5Z²+6Z+2=0

C'est bien ce que je pensais, tu cherchais une solution réelle. En effet, si Z est un réel solution de (E) Z^3-(5-3i)Z²+(6-11i)Z+2+16i = 0,
alors on peut écrire (Z^3-5Z²+6Z+2)+i(3Z²-11Z+16)=0. Les nombres entre parenthèses étant réels, ils sont nuls.
Il est donc astucieux d'essayer de trouver une solution commune à ses deux équations Z^3-5Z²+6Z+2=0 et 3Z²-11Z+16=0.
Comme tu l'as remarqué, ici, ça ne marche pas (ce qui signifie que (E) n'a pas de solution réelle).
L'astuce ici est de chercher une solution imaginaire pure (i.e. Z=it,t réel). On obtient deux solutions et cette fois, elle ont une solution commune.

Pour l'angle inscrit, tu considère deux points distincts sur un cercle de centre O. Pour tout point C du cercle distinct de A et B, un théorème (dit de l'angle inscrit) affirme que l'angle AOB est le double de l'angle ACB.
Ton exercice n'est autre que la version complexe de ce théorème.

[invite42f885fe]

Okey merci à tous pour votre aide !
Je n'arrive toujours pas à faire l'exercice suivant alors si vous pouviez m'aider... ^^

Montrer que les 3 propositions suivantes sont équivalentes :
(1) ABC équilateral
(2) a²+b²+c² = ab + bc + ac
(3) j (ou j²) est solution de az²+bz+c=0

(avec A (a), B (b), C (c) distincts)

Je n'ai su faire que (1) <=> (2) mais pour la 3eme... ??