dénombrer configurations dipôles électriques

[invitea2a307a0]

bonjour,
lorsque l'on relie deux dipôles (boîte à deux extrémités), on peut les associer de deux manières (parallèle ou série).
lorsque l'on relie trois dipôles différents pour en former un seul équivalent, on trouve 8 possibilités, c'est-à-dire la somme des coefficients du binôme pour la ligne 3 (1, 3, 3, 1).
Une étude exhaustive pour quatre dipôles donne 16 configurations, soit la somme (1 + 4 + 6 + 4+ 1).
Je me dis qu'il doit être possible de démontrer le cas général en s'appuyant sur des analogies que j'ignore.

Est-ce que ma conjecture est bonne ? Comment la prouver ?

Merci d'avance.
-----

[acx01b]

salut

il y en a plus que 2^n :

séparer les dipoles en 2 groupes, dans chaque groupe mettre les dipoles en parallèle , et mettre les 2 groupes en série --> déja (2^n)-1 façons

[invitea2a307a0]

bonsoir,
merci pour votre réponse, mais je pense que mettre D1 et D2 en parallèle est la même chose que mettre D2 et D1.
Mais une chose m'a échappée. Mon algorithme est le suivant : partant d'une association de n-1 dipôles, j'ajoute le nième en série ou en parallèle sur celle-ci.
Cette approche ne permet pas d'envisager toutes les configurations possibles.
Ce schéma est proche de la loi binomiale, n'est-ce-pas ?
Dans l'attente.

[acx01b]

salut dans ce que je t'ai dit tu fais 2 groupes, dans chaque groupe tu mets tout en parallèlle et tu mets les 2 groupes en série et il y a bien 2^n - 1 façons de le faire

peux-tu réexpliquer ton problème précisément parce que là on ne comprend plus rien ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea2a307a0]

bonjour,
soit deux dipôles D1 D2. On peut les associer en série D1 + D2 ou en parallèle D1//D2. Cela donne deux possibilités.
soit trois dipoles. On peut en avoir 3 en série : D1 + D2 + D3 ; deux en série : D1 + D2 ou D1 + D3 ou D2 + D3, le troisième étant en parallèle.
deux en parallèle 1 // D2 ou D1 // D3 ou D2 // D3 le troisième étant en série.
Enfin, on peut avoir les trois en parallèle : D1 // D2 // D3.
Bilan : 8 solutions.
Je suis parti d'un problème d'électricité, de ce fait, dans mon étude, D1 + D2 = D2 + D1 et D1 // D2 = D2 // D1.
Une étude exhaustive (en appliquant la règle précédente) me donne 34 configurations pour 4 dipôles et non 16 comme je l'avais indiqué dans mon premier message. Je ne peux toutefois pas garantir ce résultat !

Mais je ne comprends pas comment tu obtiens 2^n - 1 configurations pour deux groupes mis en série.

[invitea6f35777]

Bonjour,

Je pense qu'il y a plus de 8 possibilités quand on a 3 dipôles, par exemple je peux te donner 2 configurations différentes où les 3 dipôles sont en série. L'idée c'est qu'il y en a une où les dipôles sont alignés et une où les dipoles forment une étoile à 3 branches, mais comme c'est pas pratique de faire un dessin je vais essayer de te donner une description précise:

Je note Ai et Bi les extrémités de Di

configuration alignée:

A1 est libre
B1 est relié à A2
B2 est relié à A3
B3 est libre

configuration en étoile:

A1, A2 et A3 sont liés
B1, B2 et B3 sont libres

Pour moi ce sont des configurations qui ne sont pas équivalentes mais peut-être qu'une de ces configuration est interdite selon des règles que tu n'as pas (ou du moins pas assez clairement) énoncé. Il me semble que c'est justement la formalisation du problème qui est difficile.

Sinon une autre remarque: tu considère que tes dipôles n'ont pas d'orientation particulière, et si je veux mettre des diodes dans mon circuit, le sens dans lequel elle sont assemblées est important.

[inviteaeeb6d8b]

Bonjour,

étant donné qu'il assemble les dipoles dans le but d'en former un nouveau (cf message #1), je pense que la configuration en étoile est interdite.

Il n'empêche que si les trois dipoles jouent un role différent, il y a 6 façons de les placer en série :

-D1-D2-D3-
-D1-D3-D2-
-D2-D1-D3-
-D2-D3-D1-
-D3-D1-D2-
-D3-D2-D1-

(EDIT : j'ai 19 configurations avec 3 dipoles)

[acx01b]

salut

si tous les dipoles sont différents et ont une seule orientation possible alors je crois que ce qu'il faut dénombrer c'est : les graphes à n noeuds sans circuits (on rajoute à tous les noeuds qui n'ont pas de prédécesseurs un prédécesseur commun, et à tous les noeuds qui n'ont pas de successeur un successeur commun pour avoir un circuit électrique)

apparement la formule est ici : http://www.research.att.com/~njas/sequences/A003024

[invitea2a307a0]

bonjour,
dans mon message #5, je dis que D1 en série avec D2 donne la même chose que l'ordre inverse.
Le but que je poursuis est la détermination du nombre de configurations pour réaliser un dipôle, soit un montage à deux bornes et non trois ou plus.
Je considère également que les dipôles sont symétriques, soit A1-B1 est la même chose que B1-A1. Ce serait donc, pour un physicien, une résistance par exemple.
Partant d'une configuration donnée à n dipôles, le dipôle suivant doit être en série ou en parallèle avec cette configuration à deux bornes.
C'est de cette manière que j'ai obtenu 34 configurations pour 4 dipôles.
Merci pour votre contribution à mes cogitations.

[Médiat]

C'est de cette manière que j'ai obtenu 34 configurations pour 4 dipôles.

Peux-tu lister tes solutions, je ne trouve pas 34, mais peut-être ai-je mal compris la question.

[Médiat]

Sans réponse de chrisric, je fais comme si j'avais compris la question, et je trouve 52 configurations avec 4 dipôles, du coup la recherche de la suite 1, 2, 8, 52 m'a immédiatement aiguillé sur les tavaux de Cayley et MacMahon sur les "[FONT=T1]Series-Parallel Networks" (avec une distinction entre dipoles étiquetés ou non), peu de chance de trouver une formule pour l'exprimer, mais plein de recherches intéressantes, en particulier : http://algo.inria.fr/csolve/ntwrks.pdf.[/FONT]
[FONT=T1]
[/FONT]

[invitea2a307a0]

Bonjour,
je vous prie d'excuser mon silence.
après réflexion, je tente de préciser ce que je cherche.
Algorithme pour deux dipôles : D1-D2 ou D1 // D2. On a deux topologies possibles et deux configurations possibles, car D1-D2 est équivalent à D2-D1 par retournement ainsi que D1//D2 avec D2//D1. Appelons cette association D1s et D1p.
Algorithme pour trois dipôles. La première association revient à appliquer l'algo précédent. Ensuite on associe le dipôle restant. Il existe deux manières de réaliser cette association : série ou parallèle avec le dipôle précédemment obtenu. On obtient alors quatre topologies qui peuvent s'écrire D1s-D3 , D1p-D3 , D1s // D3 et D1p //D3. Ces quatre topologies ne peuvent être équivalentes. On peut les noter D31 , D32 , D33 , D34. Comme on a quatre configurations à deux dipôles, on obtient ici 8 configurations différentes.
Algorithme pour quatre dipôles. Les quatre topologies précédentes donnent alors huit topologies différentes à quatre dipôles : D3i-D4 , D3i // D4 pour i = 1..4
Topologie D31-D4 = D41: une seule configuration.
Topologie D31//D4 = D42 : 4 configurations (D1-D2-D3 ou D1-D3-D4 ou D1-D2-D4 ou D2-D3-D4 chacune en parallèle avec le dipôle non utilisé).
D32-D4 =D43 : 6 configurations ({D1//D2}-D3-D4 ou {D1//D3}-D2-D4 ou {D1//D4}-D2-D3 ou {D2//D3}-D1-D4 ou {D2//D4}-D1-D3 ou {D3//D4}-D1-D2)
D32//D4 = D44 : 12 configurations combinaison de 2 parmi 4 en parallèle multiplié par 2 possibilités de choix de 1 dipôle parmi 2.
D33-D4 = D45 : 6*2 = 12 configurations
D33//D4 = D46 : 6 configurations car deux dipôles sont en série et chacun des deux autres est en parallèle avec les précédents.
D34-D4 = D47 : 4 configurations (choix de 3 dipôles parmi 4)
D34//D4 = D48 : 1 configuration unique.

On arrive alors à huit topologies et 46 configurations.
Bien sûr, l'algorithme ne donne pas accès à toutes les topologies, citons par exemple {1-2}//{3-4}.
Cette dernière topologie ne peut être obtenue qu'en combinant des dipôles de façon indépendante de la combinaison précédente.

Merci pour votre aide. Vos questions m'ont obligé à mieux réfléchir.

Je réitère ma question d'origine : peut-on trouver le nombre de configurations pour n dipôles, sachant que le nombre de topologies différentes est égal à 2^n (il me semble).

A bientôt.

[Médiat]

Bien sûr, l'algorithme ne donne pas accès à toutes les topologies, citons par exemple {1-2}//{3-4}.

C'est ce point qui m'avait échappé.

[Médiat]

Je trouve effectivement 46 pour 4 dipôles et 332 pour 5 du coup c'est la suite A005840, l'intitulé correspond bien, mais pas de formule non plus.

[Médiat]

Bonjour,

J'ai mis au point la formule suivante :
soit S(n) le nombre de configurations qui se "terminent" par un branchement en série du dernier dipôle
S(1) = 1 (un peu par convention)
S(2) = 1



Le nombre de configurations total étant égal à 2.S(n).

J'ai vérifié cette formule jusqu'à n = 10 avec A005840, elle semble correcte.
Au besoin je pourrai expliquer plus tard.

[invitea2a307a0]

bonsoir,
merci pour votre aide et pour les liens fournis
A la prochaine.