minimum local en (0,0)

[invite78db18db]

Bonjour

Je suis en train de refaire un exercice sur les fonctions de 2 variables.
On a une fonction f(x,y)
par exemple f(x,y) = 3x^4-4x^2y+y^2

Il faut commencer par montrer que pour toute droite f restreinte à cette droite présente un minimum local en (0,0).... pas de soucis.

Mais ensuite il faut montrer que (0,0) n'est pas un minimum, pour ça je me souviens qu'il faut trouver 2 paraboles qui tels que f soit positive au dessus et négative au dessous de façon à créer un ''bandeau'' où f est négative (entre les paraboles).
Si on fait en sorte qu'en plus les 2 paraboles passent par (0,0) on a bien prouvé que (0,0) n'est pas un minium pour f mais je n'arrive pas à trouver ces paraboles.


Pour info la fonction que j'ai donné se factorise en (y-x^2)(y-3x^2), j'imagine bien qu'il faut utiliser ça mais je bloque !

merci d'avance.
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[invite6f25a1fe]

Autant utiliser les méthodes pour trouver les minimums, ca va plus vite.

Sinon, dans ton cas, tu cherches à priori à montrer que (0,0) qui donne f(0,0)=0 est un point scelle (ni minimum, ni maximum mais pourtant point critique).
Pour cela, tu regardes les droites. Pas de bol, on obtient tout le temps un minimum. Ce qui ne veut pas dire que ca en est un.
On regarde donc les paraboles. Avec ta factorisation, tu vois que :
1) y=-x² donne f=8x^4
2) y=2x² donne f=-x^4

Ainsi, tu vois que lorsqu'on se rapproche de (0,0), la fonction va tendre, certes vers 0, mais de façon à passer par un min pour 1), mais par un max pour 2).

Ton point (0,0) est donc ni un max, ni un min, c'est donc un point scelle (car c'est un point critique)

[invite78db18db]

Pas bête!

Donc la recherche de ces courbes se fait au cas par cas, un peu au nez quoi ?

[invite6f25a1fe]

Oui, mais il existe des méthodes plus efficaces.

En gros, le principe c'est de
1) chercher les points critiques (ceux qui annulent toutes les dérivées) : ils sont alors soient : minimum, maximum ou point scelle

2) ensuite, le but est de voir le comportement de la fonction autour de ce point critique : soit tu fait un développement limité, soit tu utilises les matrices (tu fais un développement de taylor qui fait intervenir la Jacobienne et la Hessienne, surement la méthode la plus simple, surtout quand les matrices restent de taillent failbes : 3x3 se fait très bien à la main)

3) Ne pas oublier de vérifier les bords du domaine lorsque ton domaine n'est pas un ouvert : il peut y avoir des extrema qui ne sont pas des points critiques

[A voir en vidéo sur Futura]