Matrice non singulière

[inviteb2874de4]

Bonjour.
Pourriez-vous m’expliquer qu'est ce que la non singularité d'une sous matrice.
Exemple:
Comment montrer que toutes sous matrices(extraite de A) 3*3 est non singulière.
A=

2 1 0 0 0
1 1 0 1 0
1 3 0 0 1

Merci bien.
-----

[NicoEnac]

Bonjour,

Non singularité = inversibilité

[acx01b]

salut celle ci l'est (singulière) :
0 0 0
0 1 0
0 0 1

[NicoEnac]

salut celle ci l'est (singulière) :
0 0 0
0 1 0
0 0 1

D'ailleurs n'importe laquelle contenant la colonne de 0

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb2874de4]

salut celle ci l'est (singulière) :
1 0 0
0 1 0
0 0 1

J'ai fait une erreur,c'est plutot
A=

2 1 1 0 0
1 1 0 1 0
1 3 0 0 1

?

[NicoEnac]

Méthode bourrine : il y a 10 matrices possibles, tu calcules les déterminants pour chacune d'entre elles et tu trouves qu'ils sont tous différents de 0.

[inviteb2874de4]

Méthode bourrine : il y a 10 matrices possibles, tu calcules les déterminants pour chacune d'entre elles et tu trouves qu'ils sont tous différents de 0.

C’est long…
Quelles sont les 10 matrices,je n’y vois pas clair (comment a-t-on le droit de former les matrices)?

[invite93e0873f]

N'importe quelle combinaison de 3 colonnes forme une sous-matrice. Il n'y a pas besoin que les 3 colonnes soient ''successives'' dans la matrice A, étant donné que d'interchanger deux colonnes de position pour former une nouvelle matrice B donne toujours une matrice équivalente à A (ainsi, si dans A on a 3 colonnes qui ne sont pas ''successives'', on peut changer la position des colonnes pour les rendre ''successives'', donnant une nouvelle matrice B équivalente à A)

[acx01b]

on peut aussi utiliser le fait que si on a une base orthogonale et un vecteur sur cette base dont aucune composante n'est nulle alors en prenant ce vecteur et tous les vecteurs de la base sauf un on aura forcément une nouvelle base (non orthogonale)

ce qui permet de vérifier moins de cas

[NicoEnac]

C’est long…

C'est pour cela que j'appelle ce moyen méthode bourrine. Il y a sûrement mieux mais c'est mieux que rien...

Quelles sont les 10 matrices,je n’y vois pas clair (comment a-t-on le droit de former les matrices)?

Combien de combinaisons possibles pour former une matrice en prenant 3 colonnes parmi 5 ?

[inviteb2874de4]

Combien de combinaisons possibles pour former une matrice en prenant 3 colonnes parmi 5 ?

Oui je suis d’accord pour le nombre c’est pour les retrouver que je m'emmêle les pinceaux!?

étant donné que d'interchanger deux colonnes de position pour former une nouvelle matrice B donne toujours une matrice équivalente à A

Tu parles de matrice équivalente par rapport au déterminent qui est le même à un signe prés ?

[invite0a1043b4]

tu peux calculer le déterminant de chaque sous matrice s'il est différent de zéro donc il est inversible ou encore calculer le nombre de conditionnement s'il est proche de 1 un donc inversible s'il trop grand ordre de 10^k k=2 3 4 5 6 etc donc difficile a inverser