Somme

[invitef1b93a42]

Bonjour,
Un exercice de fin de Terminale me pose quelques problèmes... voici l'énoncé : Soit une fonction définie sur par avec des nombres réels, . Il faut d'abord montrer qu'il existe un polynôme tel que et ensuite montrer que soient tous nuls.
Pour la première question, j'ai pensé à prendre avec la formule d'Euler mais je ne vois pas trop où aller après, pourriez-vous me donner un indice qui me mettrait sur la piste, s'il vous plaît ?

Merci d'avance.
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[Seirios]

Bonjour,

Je pense avoir trouvé en utilisant la formule d'Euler que tu cites, et essayant de mettre sous la forme de la somme de deux polynômes en .

[invitef1b93a42]

J'avais trouvé ceci : , est-ce correct ?

[Seirios]

J'ai trouvé la même chose ; l'on peut alors remarquer qu'il s'agit bien de deux polynômes en .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef1b93a42]

Oui, je n'ai aucune idée de pourquoi j'ai bloqué dessus en triturant cette égalité pour arriver à un seul polynôme... Merci à toi Phys2 pour tes éclairssissements.

[Seirios]

Un essai pour la question suivante :

 Cliquez pour afficher

; on peut alors construire une infinité de racines du polynômes, puisque . Or , donc . Ainsi, P est le polynôme nul, c'est-à-dire que .

[invite2220c077]

Salut,

Pour la question 1), en utilisant la relation d'Euler on arrive à :



avec

Ce polynôme vérifie :

Si pour tout réel on a , alors le polynôme s’annule pour tout nombre complexe de module 1. Ce polynôme est nécessairement le polynôme nul car sinon il aurait plus de racines, ce qui contredit le théorème d'Alembert-Gauss.
Par conséquent, les coefficients sont tous nuls. La réciproque est immédiate.