questions prépa maths MP

[invite891fc415]

bonjour, je suis en prépa scientifique, j'entre en deuxième année à la rentrée et le professeur de mathématique nous a donné un questionnaire pour nous permettre de réviser plus efficacement. seulement, j'ai quelques problèmes à répondre à certaines questions, si quelqu'un pouvait m'aider svp

-1-qu'est-ce que la multiplicité d'une racine a d'un polynôme P?
j'ai répondu que c'était le nombre de fois que l'on pouvait factoriser par cette racine un polynome P, mais je ne sais pas s'il faut préciser autre chose ou non

-2-quel est le lien entre la multiplicité d'une racine a d'un polynome P et les dérivées de ce polynome?
je n'en ai aucune idée et les sites internet ne m'ont pas renseigné non plus.

-3-qu'est-ce le pôle d'une fraction rationnelle?
en règle générale, ce sont les racines du dénominateur?

je continue d'avancer dans le questionnaire
je vous remercie d'avance
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[invite6f25a1fe]

Pour le lien avec les dérivées, il suffit de voir :
Que veut dire pour toi, du point de vue des racines, que ?

[invite891fc415]

heu... que x0 est racine de la dérivée nième de P, mais on ne peut pas connaitre sa multiplicité?

[invite891fc415]

ou bien que le polynome P admet n racines ou moins?
donc que la multiplicité d'une racine et forcément inférieure ou égale à n, sachant que la dérivée nième de P est nulle?
(un peu de mal à exprimer ce que je veus dire)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6f25a1fe]

non, on peut arrivé à dire que si alors c'est que x0 est une racine du polynôme P de multiplicité au moins n.

Soit x0 une racine du polynôme P de multiplicité m, alors on aura pour tout n inférieur ou égal à m :
et pour n supérieur à m une dérivée n-ièmequi ne s'annulle plus.

Il me semble que l'on voit ca dans certains exos type prépa.

[invite891fc415]

d'accord, oui en effet je vois bien pourquoi on pourrait dire ça mais ce qui ne me semble pas très clair c'est le fait que ce soit pour n inférieur ou égal à m. je penserais la même définition mais il me semble logique que pour n supérieur à m la dérivée continue de s'annuler ?
je sais que la réponse doit paraitre logique mais justement je ne la trouve pas (la logique)

et j'ai vérifié nous n'avons pas abordé ce sujet dans nos exercices, mais peut-être en début de 2ème année.

[invite891fc415]

j'ai compris ^^ merci beaucoup, j'avais interprété dans le mauvais sens. je continue à tenter de répondre à mon questionnaire tranquillement.
bonne journée

[invite891fc415]

je suis tombée sur une autre question :
écrire la forme de la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle: P(X)/(X-a)³(X-b)²(X-c)

on peut très simplement écrire:
=A/(X-a) + B/(X-a)² + C/(X-a)³ + D/(X-b) + E/(X-b)² + F/(X-c)

mais existe-t-il une écriture plus simple?

de même pour la décomposition en élément simples de P'/P=E(X)+ R(X)/P(X) ?

si quelqu'un voit quelque chose de plus simple je suis preneuse

[g_h]

Je ne suis pas sur d'avoir bien suivi la conversation, mais l'assertion :

non, on peut arrivé à dire que si alors c'est que x0 est une racine du polynôme P de multiplicité au moins n.

est complètement fausse !

Au hasard : si P(X) = X²-X-1, alors P'(1/2) = 0 et 1/2 n'est pas racine de P... !

[invite891fc415]

oulala ^^ lol
en tous cas j'ai compris la deuxième partie, ça me parait tout à fait logique maintenant, merci de la réponse

je poursuis les recherches en ce qui concerne les questions suivantes, j'en ai 250 et j'en suis à la 48^^, j'aurais peut-être besoin d'aide d'ici peu, merci

[invite899aa2b3]

Bonjour.

non, on peut arrivé à dire que si alors c'est que x0 est une racine du polynôme P de multiplicité au moins n.

Ce serait le cas si

[inviteaf1870ed]

je suis tombée sur une autre question :
écrire la forme de la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle: P(X)/(X-a)³(X-b)²(X-c)

on peut très simplement écrire:
=A/(X-a) + B/(X-a)² + C/(X-a)³ + D/(X-b) + E/(X-b)² + F/(X-c)

mais existe-t-il une écriture plus simple?

de même pour la décomposition en élément simples de P'/P=E(X)+ R(X)/P(X) ?

si quelqu'un voit quelque chose de plus simple je suis preneuse

Pour P'/P tu devrais scinder son polynôme avec toutes ses racines complexes Xi, et regarder ce que devient P'/P

[invite6f25a1fe]

Bonjour.

Ce serait le cas si

oui, c'est ce que j'ai essayé de dire dans mon post. Mon explication n'est peut être pas claire, mais g_h n'a pris qu'une phrase dans mon post. En dessous, je signale bien (j'aurais pu être plus explicite c'est vrai) qu'il faut que ca soit vrai pour tout n compris entre 0 et m.

[invite891fc415]

rebonjour à tous et à toutes,
on me demande, dans mon questionnaire, d'énoncer la relation de Pythagore pour une famille de vecteurs.
je suppose que ce n'est pas le théorème que l'on apprend étant plus jeune; et je ne trouve rien dans mes cours. en cherchant sur internet je suis tombée sur un site ou on aborde ce sujet mais il n'énonce pas cette relation.
en répondant à cette question je dois aussi préciser l'hypothèse; je pense que la famille doit être orthogonale; mais comment énonce-t-on cette relation? comme le théorème?

merci d'avance de vos réponses

[invite6f25a1fe]

Il me semble qu'on peut étendre la notion du théorème de Pythagore (au moins dans Rn) avec quelque chose du genre :

Soit le projeté orthogonale "Po" du point x sur F (donc Po appartient à F). Alors "Po" minimise la distance d(x,P) pour P appartenant à F.
On a alors la relation : Pour tout point P de F, d(P,Po)²+d(Po,X)²=d(P,X)²

En gros (c'est au moins vrai pour les espace eucliens, après je ne sais pas trop), la minimisation de la distance est en relation avec l'orthogonalité.

[invite891fc415]

re bonjour! merci tout d'abord pour les réponses que vous m'avez données, elles m'ont bien aidée.
je tombe, de nouveau, sur une question ambigue je trouve:
dans un espace vectoriel euclidien orienté de diension3, qu'est-ce que la rotation d'angle téta autour d'un axe dirigé par le vecteur u?

je sais qu'on peut la représenter par une matrice, mais je doute que ce soit la réponse, et je ne vois pas autre chose.

merci

[invite891fc415]

une autre question :$, j'avoue que je ne la comprend même pas...

dans le plan euclidien, quel est l'ensemble des points u.AM=a où u est un vecteur unitaire de l'espace affine euclidien?

si vous pouviez déjà m'aider à la comprendre, j'aurais surement plus de facilité à y répondre ^^ merci