une solution faible dans L1

[invite0e6de892]

salut tout le monde

qu'est ce que une solution faible dans L1

merci bcp d'avance
-----

[KerLannais]

Salut,

La notion de solution faible dépend du problème, et hors context on ne peut donner de définition précise. De façon général, quand on a un problème à résoudre (souvent une équation ou un système d'équation avec parfois des conditions limites), les solutions du problème sont des fonctions qui doivent avoir une certaine régularité pour que le problème ait un sens. Par exemple, pour une équation différentielle, il faut en général que les solutions soient dérivables (ou différentiable quand on a plusieurs variables). Ce sont les solutions dites "classiques", mais souvent on peut reformuler le problème en un problème équivalent dite formulation faible qui est tel que:
-la ou les solutions classiques du problème initial sont solutions de la formulation faible
-toute solution de la formulation faible, s'il elle a la régularité des solutions classiques est solution du problème initial.
-cette formulation du problème a un sens pour des fonctions moins régulières que la régularité demandée par le problème initial et il peut y avoir des solutions faibles qui ne sont pas régulières et pour lesquelles le problème initial n'a pas de sens.

exemple:
(dans ce cas super simple c'est ridicule d'utiliser des solutions faibles parce qu'on peut résoudre directement mais c'est pour expliquer)
sur

avec une fonction continue connue, un nombre réel fixé, ce sont les paramètres du problème. On cherche une solution de classe qui vérifie l'équation et la condition au bord.

Soit une fonction de classe telle que et une solution (classique) on a:


Ainsi on peut définir des solutions faibles qui sont seulement intégrable et pas forcément dérivables (par exemple une fonction qui est seulement continue est intégrable mais pas forcément dérivable). Pour intégrable (autrement dit ), on dit que est une solution faible (ou une solution faible si on veut) si pour toute fonction de classe telle que on a:


On a vu qu'une solution classique était solution de cette formulation faible, maintenant si on considère une solution faible qui est de classe alors elle vérifie:

pour toute fonction de classe telle que et c'est suffisant (on peut le montrer) pour en déduire que:

on en déduit alors d'après la formulation faible que:

Ainsi on a montrer que si une solution faible de ce problème était de classe alors c'était une solution classique.

Encore une fois je le répète LA NOTION DE SOLUTION FAIBLE DEPEND DU PROBLEME QU'ON ETUDIE ET IL PEUT Y AVOIR PLUSIEURS NOTION DE SOLUTION FAIBLE POUR UN MEME PROBLEME , et une solution faible c'est juste une fonction qui est solution faible.

[KerLannais]

Re

erratum: je me suis planté sur des signes il faut lire



et dans la définition de solution faible

[invite0e6de892]

Salut,

La notion de solution faible dépend du problème, et hors context on ne peut donner de définition précise. De façon général, quand on a un problème à résoudre (souvent une équation ou un système d'équation avec parfois des conditions limites), les solutions du problème sont des fonctions qui doivent avoir une certaine régularité pour que le problème ait un sens. Par exemple, pour une équation différentielle, il faut en général que les solutions soient dérivables (ou différentiable quand on a plusieurs variables). Ce sont les solutions dites "classiques", mais souvent on peut reformuler le problème en un problème équivalent dite formulation faible qui est tel que:
-la ou les solutions classiques du problème initial sont solutions de la formulation faible
-toute solution de la formulation faible, s'il elle a la régularité des solutions classiques est solution du problème initial.
-cette formulation du problème a un sens pour des fonctions moins régulières que la régularité demandée par le problème initial et il peut y avoir des solutions faibles qui ne sont pas régulières et pour lesquelles le problème initial n'a pas de sens.

exemple:
(dans ce cas super simple c'est ridicule d'utiliser des solutions faibles parce qu'on peut résoudre directement mais c'est pour expliquer)
sur

avec une fonction continue connue, un nombre réel fixé, ce sont les paramètres du problème. On cherche une solution de classe qui vérifie l'équation et la condition au bord.

Soit une fonction de classe telle que et une solution (classique) on a:


Ainsi on peut définir des solutions faibles qui sont seulement intégrable et pas forcément dérivables (par exemple une fonction qui est seulement continue est intégrable mais pas forcément dérivable). Pour intégrable (autrement dit ), on dit que est une solution faible (ou une solution faible si on veut) si pour toute fonction de classe telle que on a:


On a vu qu'une solution classique était solution de cette formulation faible, maintenant si on considère une solution faible qui est de classe alors elle vérifie:

pour toute fonction de classe telle que et c'est suffisant (on peut le montrer) pour en déduire que:

on en déduit alors d'après la formulation faible que:

Ainsi on a montrer que si une solution faible de ce problème était de classe alors c'était une solution classique.

Encore une fois je le répète LA NOTION DE SOLUTION FAIBLE DEPEND DU PROBLEME QU'ON ETUDIE ET IL PEUT Y AVOIR PLUSIEURS NOTION DE SOLUTION FAIBLE POUR UN MEME PROBLEME , et une solution faible c'est juste une fonction qui est solution faible.

merci beaucoup pour votre aide

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0e6de892]

Re

erratum: je me suis planté sur des signes il faut lire



et dans la définition de solution faible

merci beaucoup pour votre aide