integrale

[invite34b13e1b]

Bonjour,
Je tiens à préciser que je suis en MPSI et passe en MP en septembre prochain.
je cherche à calculer:

J'ai d'abord montré l'existence:
_ En 1 on a un accroissement fini, donc tend vers 1.
_ En 0, tend vers 0.

Maintenant je cherche à calculer l'intégrale.
J'ai pensé au changement de variable suivant: exp(z)=t
De la il vient: dt=exp(z)dz
Et donc:

(je n'ai pas encore vu les intégrales impropres donc je préfère utiliser la notation ci-dessus, un introduisant un petit epsilon.)
Mais la je ne sais pas comment faire.
J'ai pensé à encadrer cette intégrale, mais par quoi?
_ si je dis exp(z)<1 je ne vois pas comment avancer
il faudrait que j'encadre autrement...

Merci de votre aide, et désolé pour mes probables "retards de réponse"" parce qu'il se trouve que je suis en vacance et que je n'ai que très rarement accès à internet!
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[invitebe08d051]

Bonjour

Je crains bien que ton intégrale n'est pas calculable sinon il faudra passer les intégrales impropres, si c'est le résultat qui t'intéresse le voici , mais je ne crois pas que c'est vraiment ce que tu cherche.

Cordialement

[invite1237a629]

Salut,

L'intégrale vaut ln(2) ^^

Une manière de faire est de transformer ça en double intégrale, en notant que

Puis d'utiliser le théorème de Fubini (conditions à vérifier bien sûr...). Le résultat est alors presque immédiat.
C'est peut-être plus évident en considérant (c'est peut-être plus facile d'avoir cette égalité que la précédente)
Puis prendre a=1 et b=0


Une autre manière de faire est de dériver sous le signe intégrale (là encore, conditions à vérifier) en considérant

[invitefcdf698a]

Bonjour,

Avec des outils un peu plus élémentaires, et de manière un peu plus laborieuse, on peut remarquer que :

1)
2) Pour t proche de 1, on a , donc (à formaliser) . Cette dernière intégrale est calculable (on connait une primitive).
3) Il reste à faire tendre x vers 1 pour obtenir le résultat annoncé par Mimoimolette.

Si ce n'est pas clair, je peux donner plus d'explications.

Bon courage!

[A voir en vidéo sur Futura]

[breukin]

Hormis les questions de convergence aux bornes (intégrales impropres), on peut faire ça de manière techniquement simple :
Par changement de variable (pour travailler avec des données positives, on y voit plus clair) :

Par intégration par parties (car tout est convergent) :

Il suffit alors de faire dans la seconde intégrale pour arriver à :

Et donc l'intégrale vaut bien . Après, il est possible de refaire tous ces calculs avec des bornes epsilonisées.

[invite34b13e1b]

Bonjour,
d'abord, je vous remercie pour toutes ces réponses.

J'ai tout compris à ta méthode Breukin, (j'admets encore la convergence des intégrales impropres, mais comme je me suis un peu documenté donc je commence à comprendre).

Jacky07, pourrais tu me donner un coup de pouce pour montrer l'égalité 1).
ie:

J'ai penser à transformer l'intégrale pour faire intervenir x^2 aux bornes, mais je bloque un peu...
un changement de variable: c'est compliqué vu la "gueule" des nouvelles bornes... (excuser l'expression).

MiMoiMolette, je n'ai pas vu le théorème de Fubini; je vais voir un peu de quoi il s'agit pour comprendre ta méthode: je te tiens au courant!

Merci à tous

[breukin]

Tous calculs faits, on trouve, sauf erreur :

[invite34b13e1b]

Alors, d'après ce que j'ai lu sur wiki, le théorème de Fubini dit que sous certaines conditions, il est possible d'intégrer une double intégrale "variable après variable".
Je n'ai pas réellement compris les conditions...
En math sup on se permet de "fixer" une variable quand elle ne dépend pas de celle que l'on intègre. (vous suivez?)
Est-ce la même condition?
Sinon, j'ai beaucoup aimé la méthode!
Voila mon raisonnement, est-ce que vous pouvez confirmer les magouilles avec les variables (ie: la bonne utilisation du théorème de Fubini) svp:
d'après le théorème de Fubini

[invite1237a629]

Alors, d'après ce que j'ai lu sur wiki, le théorème de Fubini dit que sous certaines conditions, il est possible d'intégrer une double intégrale "variable après variable".
Je n'ai pas réellement compris les conditions...
En math sup on se permet de "fixer" une variable quand elle ne dépend pas de celle que l'on intègre. (vous suivez?)
Est-ce la même condition?

Ça y ressemble oui

Sinon, j'ai beaucoup aimé la méthode!

En général, c'est joli à voir ^^ mais c'est compliqué de trouver de quelle fonction l'intégrande est l'intégrale (tu suis ? )

Voila mon raisonnement, est-ce que vous pouvez confirmer les magouilles avec les variables (ie: la bonne utilisation du théorème de Fubini) svp:
d'après le théorème de Fubini

Le th de Fubini intervient pour écrire ça :



Et sinon, c'est bon je crois ^^

[invite34b13e1b]

En général, c'est joli à voir ^^ mais c'est compliqué de trouver de quelle fonction l'intégrande est l'intégrale (tu suis ? )

A bah ça c'est très balot, je me demandais comment tu avais trouvé l'intégrale qui convient.
Science infuse sans doute...
ou bien ca fait parti de ce que l'on pourrait appeler la "culture mathématique"!
Bon, en tout cas bravo!

[invite1237a629]

A bah ça c'est très balot, je me demandais comment tu avais trouvé l'intégrale qui convient.
Science infuse sans doute...
ou bien ca fait parti de ce que l'on pourrait appeler la "culture mathématique"!
Bon, en tout cas bravo!

Hmm... l'habitude...

Et il fallait en fait juste se souvenir qu'il existe une primitive "à peu près connue" qui donne un logarithme au dénominateur

C'est quand il s'agit d'intégrer a^x par rapport à x