Hello !
Il faut maîtriser un type d'équation différentielle pour la prépas,
qui est le suivant :
.
Pour la solution, on écrit
La solution générale est :
L'équation caractéristique est :
On calcule
J'aimerai avoir une preuve mathématique de cette solution pour mieux comprendre cette méthode, sans avoir à l'appliquer bettement en cours l'année prochaine
Merci
Pour moi, la preuve consisterait à montrer que l'ensemble des solutions est un espace vectoriel de dimension 2. L'équation étant linéaire, il suffit de trouver deux éléments de la base pour obtenir toute les solutions (on ajoute une solution particulière dans le cas non-homogène).
On remarque que les solutions du type
On a donc montré que les fonctions
P.S : les exponentielles sont linéairement indépendantes, donc si on trouve 2 racines distinctes, on a bien deux solutions qui forment une base.
Notamment aussi, quand on étend les solutions aux complexes
