Ah elle est forte celle-là ! (intégrale elliptique)

**criticus** · 20/04/2005, 17h15

Ah zut zut alors, elle est forte celle-là :

$\displaystyle\int{sqrt{1+cos^2 x}dx$

Si quelqu'un sait comment faire je suis pour ! Merci d'avance.

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**Jackooo** · 20/04/2005, 17h19

J'ose même pas écrire la formule affreuse et traumatisante que me donne Maple du calcul de cette intégrale ! (ca fait une demi ligne avec la fonction "Incomplete and complete elliptic integrals of the second kind")

Edit : la fonction bizarre c'est :
$\displaystyle \int_{0}^z \sqrt{ \frac{1-k^2 \cdot t^2}{1-t^2}} \ dt$ , avec ici $z = cos x$ et k=i (tq $i^2 = -1$ )

**criticus** · 20/04/2005, 17h29

Ah merci c'est ce que je soupçonnais mais je n'en étais pas sûr ... Merci d'avoir tenté avec Maple, moi je vais pas rendre ma copie cette fois c'est trop dur ce truc !

**Jackooo** · 20/04/2005, 17h30

En fait j'arrive à simplifier l'expression donnée par Maple : c'est égal à :
$\displaystyle -{\frac {\sqrt {1- \left( \cos \left( x \right) \right) ^{2}}{\it EllipticE} \left( \cos \left( x \right) ,i \right) }{\sin \left( x \right) }}$ , où EllipticE est la fonction que j'ai donné ci-dessus...
voili voilou... je sais pas si c'est très rassurant...

**martini_bird** · 20/04/2005, 17h34

Salut,

cette primitive ne peut effectivement pas s'exprimer à l'aide des fonctions usuelles. Avec une petite manip dans l'intégrale elliptique de deuxième espèce, ton intégrale vaut $\sqrt{2}E(x,1/\sqrt{2})$ .

Cordialement.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Jackooo** · 20/04/2005, 17h43

C'est comme ca qu'elle s'appelle l'intégrale pas belle ? bof...

Un peu plus sérieusement, où est-ce qu'elle intervient cette intégrale sinon ? Je veux dire si on lui a donné un nom, ca doit intervenir souvent quand même...

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**martini_bird** · 20/04/2005, 17h46

Cherche un peu sur le forum ou sur le web: il y a pas mal de sujets qui y sont consacrés.

NB: les intégrales elliptiques ont été baptisées ainsi car elles correspondent au calcul de la longueur d'un arc d'ellipse.

**Jackooo** · 20/04/2005, 17h48

okidoki, merci... je vais aller jeter un coup d'oeil...

**criticus** · 21/04/2005, 10h20

Oui elle intervient dans les tôles ondulées etc. (c'était pas de moi

)

http://www.mat.ulaval.ca/anum/ch5/html/node8a.html

Ah elle est forte celle-là ! (intégrale elliptique)

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