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Fonctions harmoniques



  1. #1
    Quinto

    Fonctions harmoniques

    Salut,
    lorsque l'on a une fonction holomorphe f sur un disque épointé D\{a} et que f admet une singularité en a, on a alors si je me souviens bien:

    2iPif(z)=intégrale de f(z)dz/(z-a) sur c=2iPiRes(f,a)
    ou c est un contour simple (on peut généraliser ceci avec l'indice de c ou c n'est plus simple, mais ca n'a pas tellement d'importance)

    Notamment, une fonction holomorphe f, à la propriété d'avoir ses parties réelles et imaginaires harmoniques.("théorème" de Cauchy-Riemann)

    Je me demandais si on ne pouvait pas généraliser une sorte de formule de résidu pour les fonctions harmoniques à 2variables.

    Je sais que l'on peut généraliser une formule de représentation (formule de la moyenne) pour de telles fonctions, notamment, sauf erreur on a:
    2Pif(z)=intégrale f sur un disque de centre z.
    mais qu'en est il autour d'une singularité?

    Par exemple, f(x,y)=(x-y)/(x^2+y^2)
    f(x,y)=1/N2(x,y)
    ??

    Est ce qu'il faut chercher un conjugé harmonique à nos fonctions pour trouver quelque chose d'intéressant?

    Je me soumet à vos propositions...
    A+

    -----


  2. #2
    martini_bird

    Re : Fonctions harmoniques

    Salut,

    j'essaie d'apporter des idées, mais il y a une probabilité non-nulle pour que ce soit des bêtises...

    Tout d'abord, quand tu parles d'une fonction harmonique à deux variables, tu veux dire à deux variables réelles?

    Sinon, sur ton exemple f(x)=(x-y)/(x²+y²), l'intégrale sur un cercle centrée à l'origine est nulle, non? Du coup, je dirais que ça te donne un contre-exemple (ou du moins une limitation) pour une éventuelle formule des résidus généralisées aux fonctions harmoniques...

    D'autre part, il n'y a pas un théorème qui dit qu'une fonction harmonique est la partie réelle d'une fonction holomorphe? (vieux souvenir: je mélange sûrement)

    Enfin, tu devrais peut-être regarder du côté du noyau de Poisson, qui donne une représentation intégrale des fonctions harmoniques bien plus forte que le théorème de la moyenne.

    En espérant t'avoir un peu aidé.

    Amicalement.

  3. #3
    Quinto

    Re : Fonctions harmoniques

    Salut, merci je vais regarder ca.

    A+

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