Formule d'Euler-Wallis

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'ai rencontré l'égalité suivante, qui était nommée comme la formule d'Euler-Wallis, et donc j'aimerais avoir la démonstration :



Je pense que le domaine de validité est pour , mais je n'en suis pas certain, cela n'était pas indiqué.

J'ai essayé d'utiliser la fonction gamma d'Euler, grâce à ces propriétés : et , mais je n'ai pas encore abouti.

Cela dit, je préfèrerais utiliser une autre méthode pour démontrer le résultat, et utiliser ce résultat pour démontrer la deuxième formule de la fonction gamma.

Quelqu'un aurait-il une idée pour démontrer la formule d'Euler-Wallis ?

Merci d'avance
Phys2
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[Thorin]

http://www.whim.org/nebula/math/pdf/eulerwallis.pdf

c'est pas un résultat complètement trivial.

[invite4ef352d8]

On parle aussi de dévelopement eulérien du sinus. c'est en effet pas totalement trivial... mais il y a de tres nombreuse preuves de ce résultats.

je t'en donne deux dans les grande ligne :

1) déveloper en série de fourier la fonction pair 2Pi périodique qui vaut cos(ax) sur [-Pi,Pi]
en appliquant le dévelopement en question au point x=0 ou 2pi je me rapelle plus, on obtiens un dévelopement de tan(x) en somme de frations rationelle. on trouve le dévelopement que tu cherche en intégrant et en passant tous à l'exponentielle ( les fraction rationelle s'intégre en des logaritme et la somme devient un produit, et ln(sin(x)) est une primitive de tan(x)... )


2) par l'analyse complexe : on divise ton produit par sin(x) et on montre que le quotient est une fonction holomorphe borné, donc constante d'apres le th de liouville.

[Seirios]

http://www.whim.org/nebula/math/pdf/eulerwallis.pdf

c'est pas un résultat complètement trivial.

Merci pour cette démonstration, elle est très claire Il faudra juste que je trouve une démonstration de , avec .

On parle aussi de dévelopement eulérien du sinus. c'est en effet pas totalement trivial... mais il y a de tres nombreuse preuves de ce résultats.

je t'en donne deux dans les grande ligne :

1) déveloper en série de fourier la fonction pair 2Pi périodique qui vaut cos(ax) sur [-Pi,Pi]
en appliquant le dévelopement en question au point x=0 ou 2pi je me rapelle plus, on obtiens un dévelopement de tan(x) en somme de frations rationelle. on trouve le dévelopement que tu cherche en intégrant et en passant tous à l'exponentielle ( les fraction rationelle s'intégre en des logaritme et la somme devient un produit, et ln(sin(x)) est une primitive de tan(x)... )


2) par l'analyse complexe : on divise ton produit par sin(x) et on montre que le quotient est une fonction holomorphe borné, donc constante d'apres le th de liouville.

Malheureusement, je ne connais les transformations de Fourier et l'analyse complexe que de (très) loin...D'ailleurs, commence-t-on à aborder les transformations de Fourier dès la sup ou faut-il attendre la spé ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec1ddcf27]

Un peu de séries de Fourier en spé... Pas de transformation de Fourier (pour les fonction intégrables), mais cela peut se faire en exercice au moment des intégrales généralisées. C'est facile, et sans grand intérêt (ils font des trucs la dessus en DUT, les gens qui font des sciences de l'ingénieur s'en servent pas mal). Plus interessant, c'est la transformée de Fourier des distributions. Utile pour les e.d.p.

Pour faire ce qu'indique Ksilver, tu n'as besoin que de la définition de la série de Fourier d'une fonction 2-pi périodique et du théorème de Dirichlet. Wikipedia devrait suffir. (enfin, à priori, en première lecture, je comprends pas comment on obtient "un dévelopement de tan(x) en somme de frations rationelles")

[invite4ef352d8]

Pour faire ce qu'indique Ksilver, tu n'as besoin que de la définition de la série de Fourier d'une fonction 2-pi périodique et du théorème de Dirichlet. Wikipedia devrait suffir. (enfin, à priori, en première lecture, je comprends pas comment on obtient "un dévelopement de tan(x) en somme de frations rationelles") >>> c'est exactement ca. sauf que en fait c'est pas un dévelopement de tan(x) qu'on obtiens, mais de cotangeante... et il "tombe tous seul" (y a un cos à gauche, et un sinus sort du calcul des coeficients de fourier, quand on divise par ce sinus on trouve le "dévelopement Eulérien de la cotangeante" qui est si je ne m'abuse Pi*cot(Pi.x) = "somme pour k dans Z des 1/(x-k)" = 1/x + somme pour k=1 à +l'infini de 2x/(x²-k²)

(la somme entre " " n'as de sens que si on regroupe les terme k>0 et k<0 sinon elle n'est pas convergente. la deuxième expression correspond à ce regroupement (et c'est cette expression qu'on obtiens quand on fais le calcul d'ailleur...)

pour passer au dévelopement de sin, il faut travailler un peu, mais "moralement" il s'agit juste d'intégrer. en revanche il faut aussi savoir justifier les convergences des série intermédiaires...

le niveaux de cette preuve est tous de meme un peu élevé : ca fait un bon exercice de Colles en math spé à peu pres... et c'est la plus simple que je connaisse (enfin... la preuve d'analyse complexe est probablement plus facile à faire et surtous plus jolie... mais les séries de fourier c'est quand meme plus elementaire que l'analyse complexe je trouve...)

[Seirios]

Il faudra juste que je trouve une démonstration de , avec .

J'ai regardé la démonstration pour x réel, mais elle utilise les logarithmes, donc cette démonstration est difficilement généralisable pour les complexes, du moins sans utiliser le logarithme complexe (ce qui doit compliquer les choses).

Existe-t-il une méthode relativement simple pour montrer que , avec ?

[invite9cf21bce]

Il faudra juste que je trouve une démonstration de , avec

Bonsoir.

Voici la démonstration "élémentaire" que j'ai mise au point pour un topo d'introduction à l'exponentielle complexe. C'est long mais j'aime bien car on utilise plusieurs fois le lemme principal (propriété 2 ci-dessous). Je te la présente sous forme d' "exercice".

1. Soit M un réel positif et soient a et b des complexes tels que et .

Soit r la suite définie par et .

Alors pour tout , on a :

2. Mêmes conditions sur M, a et b. On a alors :



3. Pour tout complexe z, on introduit la suite u en posant pour tout entier

4. Si z est un réel positif, on montre la convergence de u. Par exemple, on pose pour n assez grand. Alors à partir d'un rang explicite, u est croissante, v est décroissante, et . On peut aussi employer le logarithme (ce que je ne fais pas dans le topo car j'introduis le logarithme réel après l'exponentielle complexe).

5. Si z est un complexe, on montre que u est de Cauchy en prenant , et .

6. Ainsi, u converge toujours. On note sa limite.

7. La propriété 2. permet ensuite d'obtenir les propriétés attendues pour la dérivation (en termes de dérivée complexe de la fonction complexe E, ou bien de façon plus élémentaire en termes de dérivée des fonctions de la variable réelle , ). Ces propriétés permettent ensuite de reconstituer à peu de frais l'intégralité des propriétés algébriques et analytiques de E (et donc, dans ton cas, de reconnaître l'exponentielle complexe).

Bien entendu, le choix de plutôt que de pour introduire l'exponentielle complexe semble peu judicieux. L'opportunité de cette méthode apparaît dès qu'on étudie la méthode d'Euler à pas constant appliquée à l'équation différentielle , .

Taar.

[Seirios]

Pourrais-tu détailler davantage l'étape 7 ?

[invite9cf21bce]

Pourrais-tu détailler davantage l'étape 7 ?

En prenant et dans la propriété 2. et en faisant tendre vers , on obtient pour tous complexes et :

(I)

où

D'autre part, il est clair que .

Ensuite, tout dépend de ce qu'on sait et de ce qu'on veut :

• Si on connaît la dérivation complexe et l'exponentielle complexe, on déduit de (I) que est dérivable au sens complexe et vérifie . On en déduit que est l'exponentielle complexe (par exemple en dérivant ).
• Si on connaît seulement la dérivation réelle et l'exponentielle complexe, on déduit de (I) que pour tout complexe , la fonction est dérivable de dérivée . On en déduit (par exemple en dérivant le quotient) que n'est autre que la fonction . En prenant , on obtient : .
• Si le but (c'est le cas dans mon topo, mais pas dans ton problème) est d'établir les propriétés de , le principe est similaire :
  1. On établit que pour tout complexe , la fonction est (réelle-)dérivable et vérifie et .
  2. Par dérivation, on montre que , ce qui prouve en particulier que ne s'annule jamais (ceci autorise en particulier les divisions qui viendront par la suite).
  3. On établit que pour tous complexes et , en dérivant le quotient. En prenant , on obtient :
  4. On établit toujours selon le même principe (on peut aussi revenir à la définition).
  5. Si est réel, b. et d. montrent que est réel non nul. Donc est un réel strictement positif.
  6. Toujours si est réel, . Donc est un complexe de module 1.
  7. etc.

[Seirios]

Merci Taar, je vais essayer de reprendre ta démonstration.

je t'en donne deux dans les grande ligne :

1) déveloper en série de fourier la fonction pair 2Pi périodique qui vaut cos(ax) sur [-Pi,Pi]
en appliquant le dévelopement en question au point x=0 ou 2pi je me rapelle plus, on obtiens un dévelopement de tan(x) en somme de frations rationelle. on trouve le dévelopement que tu cherche en intégrant et en passant tous à l'exponentielle ( les fraction rationelle s'intégre en des logaritme et la somme devient un produit, et ln(sin(x)) est une primitive de tan(x)... )

J'ai potassé un peu sur les séries de Fourier, et j'ai trouvé un problème qui permettait de trouver le développement eulérien du sinus et que j'ai essayé de faire :

On considère la fonction définie sur par , avec . Grâce au théorème de Dirichlet, on peut écrire (la fonction étant continue, dérivable et -périodique) :

, d'où en posant :



Soit le réel ; par intégration :

.

On a et .

On a donc , et le résultat découle en passant aux exponentielles.

Pour écrire : , suffit-il de dire que est intégrale et que converge, sachant que converge également ?

La généralisation de l'égalité pour doit donc être , non ?

[Seirios]

La généralisation de l'égalité pour doit donc être , non ?

J'ai testé plusieurs valeurs pour x>1 sur les 200 premiers termes par excel, et l'égalité a l'air d'être vérifiée.

[invitec1ddcf27]

Salut,

Pour écrire : , suffit-il de dire que est intégrale et que converge, sachant que converge également ?

humm, il me semble qu'on a déjà évoqué ce problème... Regarde l'article

http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorèm...érie-intégrale

Alors, le premier thm devrait permettre de justifier ton calcul très simplement (mais ce thm n'est pas évident à montrer... même pas au programme de spé je pense). J'ai pas fait les calculs, mais à vu de nez, le second thm devrait pouvoir s'appliquer (et celui ci est très facile à démontrer)

[invitec1ddcf27]

Mouais, la convergence uniforme ca va pas le faire. Pour conclure sans aucun calculs, le corollaire du thm de Beppo-Levi. Par exemple, dans

http://math.univ-lille1.fr/~suquet/e...Chap3ifp04.pdf

page 79. (les fonctions continues sont "mesurables" et donc dans l'espace qui est noté M_+ dans ce texte)

[Flyingsquirrel]

La généralisation de l'égalité pour doit donc être , non ?

Il y a mieux. Essaie de vérifier l'égalité sans les modules :

Si le logiciel que tu utilises le permet tu peux aussi remplacer par un nombre complexe non nul et voir ce que ça donne.

[Seirios]

Il y a mieux. Essaie de vérifier l'égalité sans les modules :

Effectivement, cela se vérifie simplement ; mais la démonstration que j'ai donnée avec les séries de Fourier ne doit pas pouvoir se généraliser telle qu'elle est, puisque dès le début, l'on pose .

Sinon, j'ai trouvé une autre preuve de dans un pdf d'analyse complexe :

On montre d'abord facilement que : et .

On a alors, avec |z|<R, , soit , pour finalement trouver, en faisant tendre n vers l'infini : .