proprieté caracteristique de la somme directe de plusieurs sous espaces

[invite69d45bb4]

bonjour à tous

demonstration:

a) Supposons que la somme F1+F2+...+F_n est directe et montrons que pr tt p appartien à N p compris entre 2 et n et montrons que (F_1+F_2+...F_p-1) inter F_p={0}



Soit p un entier compris entre 2 et n, et z un élément de (F1+F_2+...+F_p-1) inter F_p :

il existe (z_1,z_2,...,z_p-1)app à F_1xF_2x...xF_p-1 z=z1+z2+...+z_p-1

donc 0=z_1+z_2+...+z_p-1 - z
avec (z1,z2,...,z_p-1) app à F1 x F2 x...xF_p-1 et z app à F_p ;
or 0 s'écrit d'une manière unique comme somme d'éléments de F1+F2+...+F_n,


donc z1=z2=...=z_p-1=z=0

pouvez vous m'expliquez tout ça plus clairement svp ?

merci par avance
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[invite69d45bb4]

en fait je ne comprends pas pourquoi on doit montrer que

(F_1 + F_2 + ... + F_p-1 ) inter F_p = {0} avec p compris entre 2 et n

et pas plutot

(F_1 + F_2 + ... + F_n-1) inter F_n = {0}

[inviteafd3fd8d]

Bonsoir à tous
On sait que si F1+F2+..+Fn est directe alors tout element X de F= F1+F2+...+Fn s'ecrit d'une façon unique sous la forme d'une somme d'élements des Fi i.e il existe un et un seul (x1,x2,x3,...,xn) appartenant à F1xF2x...xFn tel que X=x1+x2+...+xn mais 0=0+0+0+...+0 (n termes) et 0=Z1+Z2+...+Zp-1-Z+0+...+0 (n terme)puisque 0 appartient à Fp+1, Fp+2....,Fn. Par unicité on doit avoir Z1=Z2= Z3=Z4=...=Zp-1=Z=0

[invite69d45bb4]

merci bcp mais en fait javai deja trouver mais j'avais oublier de le preciser sur cette discussion .merci kan meme

[A voir en vidéo sur Futura]