Initiation à la topologie par l'exemple

[volkukan]

Bonjours, je cherche a m'initier à la topologie mais comme vous le savez peut-être le vocabulaire et les quelques concepts de départ sont souvent un frein à un bon démarrage.
Alors je me suis donnée un petit exemple sur lequel je compte m'appuyer pour illustrer les différents concepts de cette théorie.

Soit X mon ensemble:
X = {a,b,c}

et soit PX l'ensemble de tous les parties de X:
PX = {{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c} ,{a,b,c},{ensembleVide}}

Définition:
Espace topologique
Un espace topologique est une structue constituer par la donné d'un ensemble T de partie de X qui respecte 2 règles à savoir que la réunion et l'intersection de deux ensembles de T est un ensemble de T.

Voisinage
Dans un espace topologique X , on appelle voisinage d'une partie A de X tout ensemble qui contient un ensemble ouvert contenant A. Les voisinages d'une partie {x} réduite à un seul point s'appellent aussi voisinages du point x.

remarque :
Dans mon exemple je constate que PX respect les conditions de la définition et peut etre assimilable à T.

Question:
1) Sur quelle des deux ensembles (X ou PX) dois-je porter mon attention?
Mon espace topologique est donner par le couple (X,PX) ou c simplement PX puisque ce dernier est muni d'une structure (dicté par la définition) alors que X en a aucun, alors il me sert a quoi?

2) Ma comprehension de la définitioin de voisinage d'un point de X m'amène à penser que le voisinage du point a est:
Va = {{a},{a,b},{a,c},{a,b,c}} soit tous les ouverts (ensemble de PX) qui contient le point a.
Dans ce cas le voisinage de la partie A de X avec A = {a,b} serait alors Vab = {{a,b},{a,b,c}}.

3) Dans la mesure ou le sous-ensemble A de X (A={a,b}) fais aussi partie des ouverts de PX puis-je l'appeler aussi Ouvert de X?
Dans se cas comme le complementaire de A (CA = {c}) est aussi un ouvert de PX alors suivant la définition d'une partie fermer, j'ai A qui est aussi un fermer puisque son complementaire est un ouvert?


C rien de très compliqué pour celui qui a tous les concepts en place dans son esprit, ainsi je remercie par avance toutes personnes prête à m'aider
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[invitec1ddcf27]

1. est UNE topologie sur X. C'est la plus grande topologie sur X, on l'appelle topologie discrète
Et donc, ton espace topologique est le couple ( X, P(X) )

3. A est un élément de P(X). C'est un ouvert de l'espace topologique (X, P(X) ) . Mais par abus, on dit un ouvert de X

Et oui, avec la topologie discrète, toutes les parties sont simultanément ouverte et fermée (cette topologie n'a aucun interêt, sinon pédagogique)

[invitec1ddcf27]

2. c'est oK

[invitec1ddcf27]

Bonsoir (en retard, je suis malpoli !),

Esseye de méditer deux autres exemples de topologie :

(topologie grossière)

(Zariski)

[A voir en vidéo sur Futura]

[volkukan]

Merci xav75 sa me rassure parce que je pensais que d'avoir un partie a la fois ouvert et fermer ne pouvais qu'être le signe d'une incomprehension.
Sinon autre question :
Le voisinage du sous-ensemble A = {a,b} ne devrait pas être voisin du point a et du point b?
or pour moi le voisinage du point a est :
Va = {{a},{a,b},{a,c},{a,b,c}}
est celui de A = {a,b} est:
Vab= {{a,b},{a,b,c}}

or on voit que Vab est contenu dans Va alors que sa devrait pas etre l'inverse puique a est contenu dans {a,b}?

Aussi comment fait-on pour avoir un ensemble voisin de chacun de ces points.

Je vais mediter sur t exemple aussi

[invitec1ddcf27]

" comment fait-on pour avoir un ensemble voisin de chacun de ces points " : c'est le cas des ouverts, c'est même une équivalence, une partie est ouvert ssi elle est un voisinage de chacun de ses points (esseye de le montrer, c pas très dure)


la notion de voisinage d'une partie ne sert à grand chose (y'as des auteurs qui la donne, je la connais pas... celle que tu donne me parait raisonnable !) Pour ta question, esseye de montrer que si , et si V_A , V_B sont deux voisinages de A et de B respestivment, alors V_A est inclu dans V_B.

[invitec1ddcf27]

pardon :

Pour ta question, esseye de montrer que si , et si V_B est un voisinage de B, alors c'est aussi un voisinage de A.

J'ai pas l'impression qu'il y ait une relation générale du type A inclu dans B donnant une inclusion entre les voisinages

[volkukan]

Ok pour la demonstration je dirais que si V_B est un voisinage de B alors
or

donc

ainsi VB est voisinage de A

Jpense avoir compris compris la notion de voisinage, j'été pas tres sur de ce que j'avais retenu de ma premiere lecture de la théorie

[invitec1ddcf27]

oué, en gros c ca. Pour être rigoureux avec la définition, il faut juste introduire un ouvert : Si V_B voisinage de B, il existe un ouvert O tel que



et comme A est dans B, on a aussi



Et donc, il existe un ouvert contenant A et inclus dans V_B. Ce qui signifie bien que V_B est un voisinage de A.


Pour l'autre problème, en effet il n'y a pas de relation entre deux voisinages qqn de A et B. Dans ton exemple avec la topo discrète, tu aurais très bien pu prendre Vab = {{a,b},{c}}. C'est bien un ouvert contenant A ={a,b}. Et alors, il n'y a aucune relation avec ton Va.

D'ailleurs, j'avais pas noté : tu dis "le" voisinage, mais il n'y a pas unicité. Le plus petit voisinage de A = {a,b} pour notre topologie n'est autre que A = {a,b} puisque A est ouvert... Pareil, pour ton Va = {{a},{a,b},{a,c},{a,b,c}}. J'imagine que tu as recherché tous les parties contenant a : ce n'est pas nécéssaire : un voisinage de a est juste une partie contenant un ouvert contenant le point a, Va = {a} , V_a = {{a}, {a,b}, {c}} conviennent...

[volkukan]

ok, c encore plus simple que je pensais, sinon concernant l'interieur et l'adhérence Si je prends le sous-ensemble de X A={a,b}
G l'impression que a et b sont à la fois intérieur au sous-ensemble A puisque se dernier se retrouve dans les voisinage de a et b mais il sont aussi adhérent à A puisque chaque voisinage de a et de b donne une intersection non null avec A.
Si c bien le cas il est vraie que la topologie discrete n'est pas formidable en terme d'intérêt par contre g pas trops compris l'ensemble de zariski.
Il sagit des sous-ensemble A de X dont le cardinal du complémentaire de A Card(X\A) ne soit pas infini?
En réalité j'aimerai m'essayer à la topologie sans utiliser d'ensemble faisant intervenir une métrique est dans ce cadre j'aimerai comprendre comment peut on parler de point A presque proche d'un point B sans faire appel à aucune distance.
L'ensemble de Zariski semble aller dans ce sens, existe-t-il d'autre exemples?

[invitec1ddcf27]

1. Ok pour l'intérieur et l'adhérence. Je sais pas comment tu veux définir ces notions. La caractérisation en terme de voisinage n'est pas la plus pratique ici. Si tu définis
- l'intérieur de A comme étant le plus grand ouvert inclu dans A
- l'adhérence de A comme étant le plus petit fermé contenant A
tu vérifi facilement que (A ouvert ssi A est égale à son intéreur) et que (A fermé ssi A égale à son adhérence).

Avec notre topologie, A = {a,b} est ouvert et fermé. Il est donc bien égale à son intérieur et à son adhérence

2. La topologie discrète n'est pas formidable parce qu'elle contient trop d'ouverts. Cela donne des propriétés bizarres, par exemple : toute fonction définie sur un espace muni de la topo discrète est continue....

3. Perso, j'ai eu un cours de topologie générale en m1, et franchement, pour l'instant, j'ai jamais rien fait d'interessant sur des espaces qui ne soient pas métriques (voire normé, Banach, Hilbertien....). Enfin, j'avoue que pour moi, l'interêt des espaces topo est encore flou !!

4. La topologie de Zariski, c'est bien ca : le vide + les parties dont le complémentaire est fini. Tu peux vérifier que c'est une topologie et vérifier qu'elle n'est pas séparé. (si on met le vide dans cette topologie, c'est pour que le vide et X soient dans la topologie, il manque cet axiome dans ta définition, et oui j'avais pas vu : une topologie est stable par réunion QQE et intersection FINIE)

5. " comment peut on parler de point A proche d'un point B sans faire appel à aucune distance ? " : bah, pour parler de proche, il faut une distance... tu pourra généraliser des propriétés de continuité par exemple, mais parler de "proche" dans le cadre topologique, c'est malaisé. Au mieux, je pense que pour récupérer des notions de géométrie euclidienne sur un espace topo, il faut se placer dans le cadre des variétés différentiables. Je suis ni spécialiste ni passioné par ces maths...

[taladris]

Salut!

Quelques remarques sur ce qui a été dit:

s'appelle plutôt topologie cofinie. La topologie de Zariski est la topologie sur (où K est un corps) dont les fermés sont les zéros d'une famille de polynôme en n variables.
Pour n=1, les deux topologies coïncident mais en général, ce n'est pas le cas.

Pour ta question, esseye de montrer que si A est inclus dans B, et si V_B est un voisinage de B, alors c'est aussi un voisinage de A.

J'ai pas l'impression qu'il y ait une relation générale du type A inclu dans B donnant une inclusion entre les voisinages

Bien justement, tu viens de montrer que si A est inclus dans B, l'ensemble des voisinages de B est inclus dans l'ensemble des voisinages de A!

3. Perso, j'ai eu un cours de topologie générale en m1, et franchement, pour l'instant, j'ai jamais rien fait d'interessant sur des espaces qui ne soient pas métriques (voire normé, Banach, Hilbertien....). Enfin, j'avoue que pour moi, l'interêt des espaces topo est encore flou !!

La topologie de Zariski, non séparée et donc non métrisable, est très importante: elle donne naissance à la géométrie algébrique qui est une branche très importante des mathématiques.

5. " comment peut on parler de point A proche d'un point B sans faire appel à aucune distance ? " : bah, pour parler de proche, il faut une distance... tu pourra généraliser des propriétés de continuité par exemple, mais parler de "proche" dans le cadre topologique, c'est malaisé.

Dans un espace topologique, c'est la notion de voisinage qui décrit la proximité entre deux points.




Pour Volkukan, essayez de comprendre les notions de topologie à partir de la topologie discrète n'est peut-être pas une bonne idée (si ce n'est voir ce qui se passe dans un cas extreme) car comme l'a justement fait remarquer xav75, il y a "trop" d'ouverts.
Intéresse toi à ses autres exemples, notamment la topologie cofinie.

Cordialement

[invitec1ddcf27]

Salut,

1 .s'appelle plutôt topologie cofinie.



2. Bien justement, tu viens de montrer que si A est inclus dans B, l'ensemble des voisinages de B est inclus dans l'ensemble des voisinages de A!


3. La topologie de Zariski, non séparée et donc non métrisable, est très importante: elle donne naissance à la géométrie algébrique qui est une branche très importante des mathématiques.


4. Dans un espace topologique, c'est la notion de voisinage qui décrit la proximité entre deux points.

1. J'ai trouvé moultes sources ou cette topologie s'appelle Zariski...

2. Certes, mais j'ai cru comprendre que ce qu'il cherchait, c'est une relation entre les voisinages et non pas les ensembles de voisinage. Un truc du style A inclu dans B implique tout voisinages de A est inclu dans un voisinage de B, ce qui est faux...

3. Je te remercie de me confirmer que la topologie sert à qq chose !! Enfin, les algébristes me font chier... je préfére encore regarder secret story plutot que de faire de l'algèbre ! Un exemple en analyse m'éveillerait davantage

4. Je suis bien d'accord que la notion de voisinage dans un espace topo généralise la notion de voisinage dans un espace métrique, et donc qu'elle vise à généraliser la notion de proximité. Toutefois, utiliser le terme "proche" dans le cadre topologique me parait abusif. Dire que deux objets sont proche sous-entend que l'on mesure la distance entre ces objets. Sinon, ce terme est vidée de son sens. Finalement, deux objets aux formes "similaires" pourait être qualifiés de proche, voisin. En ce sens, on pourrait dire que deux espaces homéomorphes sont proches... A mon avi, mieux vaut éviter ce genre de terminologie vaseuse !

[invitec1ddcf27]

humm ok dans wiki, elle s'appelle cofinie... Je prend note ! Alors, pourquoi certain l'appelle Zariski, je n'en sais rien !

[taladris]

Salut,
3. Je te remercie de me confirmer que la topologie sert à qq chose !! Enfin, les algébristes me font chier... je préfére encore regarder secret story plutôt que de faire de l'algèbre ! Un exemple en analyse m'éveillerait davantage

Pas très respectueux pour les algébristes... Et faire de l'analyse sans utiliser l'algèbre est sûrement irréaliste:
La topologie algébrique a apporté de nombreuses réponses à des questions topologiques (notamment, "R^m et R^n sont homéomorphes ssi m=n")
Sans l'étude des variétés algébriques, on connaitrait considérablement moins de choses sur les variétés complexes.
Etc...

Pour un exemple d'espaces topologiques non métrisables en analyse, tu as les espaces fonctionnels (à valeur dans un espace topologique) munis de la topologie de la convergence simple.

Dire que deux objets sont proche sous-entend que l'on mesure la distance entre ces objets.

C'est une interprétation subjective et il me semble restrictive de la notion de proximité.
Par exemple, parler de la proximité de deux fonctions de R dans R pour la topologie de la convergence simple ne me parait pas plus vaseux que la proximité des mêmes fonctions pour la topologie de la convergence uniforme.

[soula25]

pourquoi ]-1,1[ n est pas un voisinage de 0 en topologie cofini ??? svp une démonstration sur ça

[invite02232301]

Parce que les fermés pour la topologie cofinie, sont les ensembles finis.