Exemple concret de calcul de l'exposant de Lyapounov

[invitebf1b2f4b]

Bonjour !

Un spécialiste en la matière pourrait t'il me donner un exmple concret de calcul de l'exposant de Lyapounov ?
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[invitef591ed4b]

Je te suggère de le faire numériquement à l'aide d'un programme, car il y a peut-être une façon analytique de le faire, mais ça requiert beaucoup d'outils supplémentaires (calcul de convergence de séries, critères de convergence et bcp de chipotage). Ceci dit, la méthode suivante ne s'applique qu'à la fonction logistique, qui est une itération discrète (non continue) à 1 dimension. À plusieurs dimensions, il y a en fait un exposant de Lyapunov par dimension, exprimant la croissance de l'erreur selon chacune des directions. Là, ça fait intervenir des matrices et des valeurs propres, ce que tu n'as pas encore vu, je pense. (Oui, j'ai eu mon cours sur les exposants de Lyapunov la semaine passée )

Donc tu programmes une boucle qui calcule la quantité sous le signe de sommation pour chaque , et tu les additionnes jusqu'à ce que l'écart entre deux sommes devient inférieur à une marge d'erreur epsilon relativement petite que tu auras choisie au début.

D'ailleurs, les exposants de Lyapunov sont toujours calculés numériquement.

[invite4793db90]

Salut,

je ne suis pas un spécialiste en la matière, mais j'ai l'impression qu'il est difficile de faire mieux que des approximations numériques. Prenons la suite logistique x_n+1=f(x)=ax(1-x). Il faut calculer les itérés x_k pour évaluer le limite:



Or la plupart du temps, on ne peut pas étudier directement la suite x_k, puisque précisément elle a un comportement chaotique!

C'est pourquoi, je pense plus à des méthodes numériques, le plus dur restant la démonstration de l'existence de .

En espérant t'avoir un peu aidé.

EDIT: croisement avec Sephi.

[invitef591ed4b]

Oui, l'existence de l'exposant, ça c'est un problème pour matheux en fait "Yo les gars, on a démontré que la série converge, l'exposant existe !! Maintenant, à vos calculettes !"

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebf1b2f4b]

Hum... d'accord :s
Mais quand vous dites numériquement je ne comprends pas non plus :s

Pourriez vous me donner un exemple de calcul de l'exposant, de n'importe quelle façon, ce n'est pas important pour moi, juste un exemple !