Besoin d'un exemple de calcul de l'exposant de Lyapounov !

[invitebf1b2f4b]

Bonjour !
Tous est dans le titre ! Je passe mardi pour un exposé sur le chaos (80 points glups), je n'ai aucun soucis à part que je n'ai pas d'exemple de calcul de l'exposant de Lyapounov....
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[invitef591ed4b]

En fait, quel est ton problème : tu ne vois pas la démarche analytique à utiliser pour créer un algorithme pour le calculer, ou bien c'est l'algorithme lui-même que tu n'arrives pas à saisir ?

Est-ce un problème d'analyse numérique ou de programmation ?

En tout cas, pour la démarche analytique, voici une page à lire : http://www.math.le.ac.uk/people/rdav...c183/lab4.html. Avec ceci, tu as vraiment tout ce qu'il faut pour écrire le programme ...

[invitef591ed4b]

Notamment en utilisant la formule finale de l'exposant :



où est la fonction logistique.

[invitebf1b2f4b]

Quand je dérive f(xn-i), je considère xn-i comme une variable ou comme une constante ?

La formule c'est donc bien

Je dois créer une boucle avec un n le plus grand possible, c'est bien ça ?
Première question : si n est le plus grand possible, 1/n va valoir une valeur minuscule proche de zéro ? Est ce normal ?
Seconde question : que vaut f'(xn-i) ?
Est ce que (rx(1-x))' = (rx)'(1-x) + rx(1-x)' = r(1-x) + (-rx) = r(1-2x) est juste ? x étant égal à xn-i

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef591ed4b]

Si n est grand, 1/n sera petit, oui ... c'est comme ça quoi Mais tu sommes quand-même sur un grand nombre de termes, donc ça "compense" et ça te donne au final une valeur pour l'exposant de Lyapunov (qui n'est jamais très élevée en fait).

f'(x_k-1), c'est simplement la dérivée de la fonction f, évaluée au point x_k-1, c'est-à-dire :

f'(x_k-1) = -2rx_k-1 + r

J'ai récemment formaté mon ordinateur, donc je n'ai plus aucun compilateur sur mon PC, mais voici qd-même une idée de programme.

Variables utilisées (plusieurs sont superflues, mais c'est pour la clarté)
n : représente le nombre d'itérations à faire
x0 : représente la condition initiale x₀
x_actuel : représente le terme x_k-1 dans la somme
dérivée : représente le terme |f'(x_k-1)|
terme_actuel : représente le terme ln|f'(x_k-1)|
exposant : contiendra la valeur finale de l'exposant de Lyapunov

introduire x0 et n

x_actuel reçoit x0
exposant reçoit 0

pour i allant de 0 à n-1
    dérivée reçoit |-2*r*x_actuel + r|
    terme_actuel reçoit ln(dérivée)
    exposant reçoit exposant + terme_actuel
    x_actuel reçoit r*x_actuel*(1-x_actuel)

exposant reçoit exposant/n

afficher exposant

Pour la fonction ln, soit tu la programmes toi-même (mais c'est sans intérêt dans ton cas), soit tu inclus une librairie de commandes mathématiques (ce que tout le monde fait).

C'est une méthode parmi d'autres, celle-ci est vachement minimaliste, car on ne sait pas trop quelle valeur de n donnera une réponse suffisamment précise, donc faut taper au pif ... Une seconde méthode plus intelligente consiste à calculer constamment la différence entre le terme actuel de la somme, et le terme suivant, et d'arrêter la sommation lorsque cette différence devient inférieure à une valeur-seuil (genre 0.0000001) qui détermine la précision voulue. Le désavantage, c'est qu'on ne sait pas combien d'itérations seront faites avant d'atteindre cette valeur-seuil ... si c'est 100.000 itérations, on est mal barré également.

Donc faut un peu tâtonner pour trouver ce qu'il faut.

Et ah oui, pour tes variables, utilise bien des types qui permettent de stocker le maximum de chiffres (en C++, y a le double ou long double si je me souviens bien).

[invitebf1b2f4b]

Voici le script que j'ai créé.. Je ne connais malheureusement pas le C++ et il est un peu tard pour l'apprendre

<script language="JavaScript">
r=2;
x=0.1;
d=r*(1-2*x);
a=Math.abs(d);
f=Math.log(a);
for (k=1; k<1001; k++) {
x=r*x*(1-x);
d=r*(1-2*x);
a=Math.abs(d);
g=Math.log(a);
f=f+g;
}
f=f*(1/1000);
document.write("<font face=\"Arial\" color=\"#000000\" size=\"2\"><b>exposant="+f+"</b></font><br>");
</script>

Problème : l'exposant vaut -infinity....
Je vais essayer de trouver une solution mais je seche un peu pour le moment...

[invitebf1b2f4b]

Faut que je trouve une fonction qui empeche l'arrondit à infini...

[invite6acfe16b]

Voici le script que j'ai créé.. Je ne connais malheureusement pas le C++ et il est un peu tard pour l'apprendre

<script language="JavaScript">
r=2;
x=0.1;
d=r*(1-2*x);
a=Math.abs(d);
f=Math.log(a);
for (k=1; k<1001; k++) {
x=r*x*(1-x);
d=r*(1-2*x);
a=Math.abs(d);
g=Math.log(a);
f=f+g;
}
f=f*(1/1000);
document.write("<font face=\"Arial\" color=\"#000000\" size=\"2\"><b>exposant="+f+"</b></font><br>");
</script>

Problème : l'exposant vaut -infinity....
Je vais essayer de trouver une solution mais je seche un peu pour le moment...

J'ai fait cela avec scilab pour r=4 et je trouve comme exposant 0.693...
Est-ce que quelqu'un sait si il s'agit de log(2) ?

[invitef591ed4b]

Mais c'est normal que tu tombes sur -infini, pour un paramètre r=2, tes x_k convergent vers la valeur 1/2, or f'(1/2)=0, ce qui implique que ln|f'(1/2)| = ln 0 = -infini.

Je pensais que tu devais prendre une valeur de r pour laquelle il y a effectivement un comportement chaotique, à savoir r=4 par exemple.

Pour r=4, ton script que j'ai bidouillé en ma version :

<script language="JavaScript">
n=10000;
r=4;
x=0.1;
f=0;
for (k=0; k<n; k++) {
d=r*(1-2*x);
a=Math.abs(d);
g=Math.log(a);
f=f+g;
x=r*x*(1-x);
}
f=f*(1/n);
document.write("<font face=\"Arial\" color=\"#000000\" size=\"2\"><b>exposant="+f+"</b></font><br>");
</script>

me donne un exposant valant 0.6931...

[erik]

Faut que je trouve une fonction qui empeche l'arrondit à infini...

Avant de faire ça essaye d'initialiser r avec une autre valeur que 2.
Constate que ton script marche très bien.

[invitebf1b2f4b]

Mais même si la fonction n'est pas chaotique, ne devrait-ce pas renvoyer un exposant certe négatif mais fini ? Genre -0,6... ?

[invitebf1b2f4b]

Puis ce qui m'embete c'est que si je suis le schéma de bifurcation

Schéma qui représente en ordonnées la valeur limite et en abscisse la valeur de r, et pour lequel x[0]=0.5 (c'est ce qu'on m'a dit sur Futura) eh bien avec r=3.8 ou r=3.7 ça donne -infinity... Alorsque c'est chaotique d'après le schéma :s

[invitef591ed4b]

- je n'ai pas bien compris la propriété de mélange.On a vu ensemble que : pour tout x[0], on aura des x[n] parcourant tout l'intervalle [x[0],1-x[0]].
Donc ça veut dire que pour la valeur 3,57 de r, si je mets x[0] = 0.2, j'aurai des points qui parcourent [0.2, 0.8], pour peut qu'on ait bien une fonction chaotique.

1/ Je ne me souviens pas avoir vu ça ... d'ailleurs, cela n'a pas de sens : tu dis que les x_n parcourent [x₀,1-x₀] à condition d'avoir du chaos. Mais le chaos dépend de la valeur r, or ton intervalle, lui, est indépendant de r. Donc ton intervalle est indépendant de la présence de chaos ou pas.

2/ D'ailleurs, ce n'est pas vrai : quelle que soit la valeur du paramère r et de x₀, l'ensemble des valeurs atteintes par x_n est l'intervalle [0,r/4]. En effet, il suffit de calculer le maximum de la fonction f(x) = rx(1-x) :

f'(x) = -2rx +r = 0 => x = 1/2
f(1/2) = r(1/2)(1-1/2) = r/4

Le maximum est donc atteint en x=1/2, et la valeur du maximum est r/4. Sachant que l'on se restreint aux x dans [0,1], on a que l'ensemble-image, c'est [0,r/4]. Dans ton exemple de r=3.57 et x₀=0.2, la valeur maximale atteinte par les x_n est r/4=0.8925, ce qui dépasse ton maximum supposé être 1-x₀=0.8 !

3/ Bien que l'ensemble-image soit d'office contenu dans [0,r/4], il est en fait possible de restreindre encore cet intervalle en spécifiant une borne inférieure qui est >0. En effet, si on calcule la dérivée de f(x) et qu'on regarde les valeurs de x pour lesquelles cette dérivée est positive (càd l'ensemble des x tels que leur image leur soit supérieure), alors on obtient l'intervalle [0,1/2]. Donc pour tout x₀ dans [0,1/2], x₁>x₀. Mais alors, ce x₀ serait-il une borne inférieure ? Non.

4/ Ce x₀ serait une borne inférieure si n'importe lequel des x_n reste inclus dans [0,1/2] (logique). Mais ce n'est pas le cas. En effet, pour un x₀ proche de 1/2, x₁ sera supérieur à x₀, mais x₁ appartiendra à l'intervalle [1/2,1], dans lequel la dérivée est négative (donc x₂ sera inférieur à x₁) !

5/ Si x₀ est près de 1/2, tout en lui restant inférieur, alors x₂ sera inférieur à x₁. En d'autres termes : il s'opère une chute entre x₁ et x₂ (qui dépend de la valeur x₀). Il est possible de trouver le x₀ qui induit une chute maximale, ce qui nous donnera la valeur minimale atteinte par la totalité des x_n (tu me suis toujours ?). Cette valeur minimale, c'est notre borne inférieure.

6/ La valeur maximale de la chute correspond en fait à x₀=1/2. On aura que x₁ sera la valeur maximale r/4, et x₂ la valeur minimale. Pour t'en convaincre, il te suffit de regarder le graphe des itérations. La plus grande chute de valeur s'opère entre la valeur maximale r/4, et la valeur suivante. Donc cette dernière est la valeur minimale. Elle vaut donc :

f(r/4) = -r³/16 + r²/4

7/ CONCLUSION (voici ce qui t'intéressera le plus)
L'ensemble des valeurs prises par les x_n est un intervalle qui ne dépend pas de x₀, mais du paramètre r : c'est l'intervalle [-r³/16+r²/4,r/4].
En l'occurrence, pour r=4, cet intervalle devient [0,1], ce qui confirme que le chaos est intégral sur [0,1] lorsque r=4.

- je n'ai pas bien compris la propriété de mélange.

Cette propriété concerne un système chaotique.

Supposons ton système dans un état chaotique, dont l'ensemble des x_n est l'intervalle U=[-r³/16+r²/4,r/4].
Soient deux intervalles quelconques I et J inclus dans U. Alors toute orbite démarrant dans I finira par entrer dans J. En d'autres termes : l'ensemble des valeurs x_n, c'est l'intervalle U lui-même, et cela quel que soit la valeur initiale x₀.

CONCLUSION 2
Les x_n ne sont pas seulement contenus dans U, mais ils le parcourent entièrement, et cela en permanence. Il y a donc un "mélange" constant de tous les x_n à l'intérieur de U.

- est ce que la fonction rx (1-x) est une fonction linéaire ? Je demande ça car dans le calcul de l'exposant de Lyapounov, ils constatent que pour une fonction initiale linéaire, l'erreur après n itération est tout simplement n multiplié par erreur initiale. Et ils utilisent ce résultat avec notre fonction rx (1-x) !

1/ Une fonction linéaire, c'est une fonction dans laquelle les variables sont élevées à la puissance 1, et rien d'autre. Une droite est linéaire, car dans f(x) = ax+b, tu vois bien que x est élevé à la puissance 1. De même, une fonction linéaire à deux variables serait du type f(x,y) = ax+by+c, où x,y sont à la puissance 1.

La fonction f(x)=rx(1-x) n'est pas du tout linéaire. En effet, il s'agit du polynôme f(x) = -rx²+rx, et on a un x élevé à la puissance 2.

2/ Le calcul de l'exposant est une méthode. Cette méthode peut s'appliquer à des fonctions linéaires ou pas, peu importe. Mais dans ce cas, comment différencer un système linéaire d'un système chaotique (vu que l'erreur, dans les deux cas, croît rapidement) ? Tout simplement que dans un système linéaire, la croissance de l'erreur relative est constante, contrairement à un système chaotique ! Explication ci-dessous.

Soit f(x) un système linéaire. Soit x₀ et x₀+e₀ deux valeurs initiales séparées par une erreur initiale e₀. Soit e_n l'erreur correspondant à l'écart entre fⁿ(x₀) = x_n et fⁿ(x₀+e₀). Alors l'erreur relative est définie par :

e_n/x_n

et elle est constante pour un système linéaire.

Exemple
Soit le système linéaire f(x) = cx.
On a que :

x_n = cⁿx₀
fⁿ(x₀+e₀) = cⁿ(x₀+e₀) = cⁿx₀ + cⁿe₀
e_n = fⁿ(x₀+e₀) - x_n = cⁿe₀

De ce fait, l'erreur relative est :

e_n/x_n = e₀/x₀ = constante

Dans un système chaotique (non-linéaire, donc), l'erreur relative n'est jamais constante.

Avec ça, si t'as encore des questions, c'est que t'as vraiment mal dormi

[invitef591ed4b]

Puis ce qui m'embete c'est que si je suis le schéma de bifurcation

Schéma qui représente en ordonnées la valeur limite et en abscisse la valeur de r, et pour lequel x[0]=0.5 (c'est ce qu'on m'a dit sur Futura) eh bien avec r=3.8 ou r=3.7 ça donne -infinity... Alorsque c'est chaotique d'après le schéma :s

Tout d'abord, ce schéma ne dépend pas de la valeur initiale x₀ (je ne sais pas qui t'a dit ça), car ce schéma représente les points fixes du système en fonction du paramètre r, et les points fixes ne dépendent pas de x₀.

De plus, si tu itères le système avec x₀ = 1/2, c'est normal que tu tombes sur -infini, car 1/2 est une valeur qui mène toujours à un comportement périodique ... voire pire : il semble qu'il mène toujours à un point fixe, ce qui entraîne un comportement dit "super-stable" et cela correspond à un exposant valant -infini.

Essaie de prendre r=3.7 ou 3.8, et prend x₀ = 0.49, tu verras que tu obtiendras un exposant adorable.

Moralité : dans le calcul de l'exposant, tu dois prendre plusieurs valeurs initiales x₀ afin d'éviter de tomber sur un point menant à une comportement périodique ou super-stable.

[invitef591ed4b]

Et une dernière précision à propos de l'intervalle U = [-r³/16 +r²/4, r/4] : il s'agit d'un intervalle "attractif" au sens où toute orbite démarrant hors de cet intervalle (càd dans [0,1]\U) finira par entrer dans U et y rester pour l'éternité.

[invitebf1b2f4b]

Merci beaucoup pour ces explications ! je te suis très reconnaissant de m'accorder du temps malgré tes examens. Je te souhaite bonne chance à ce propos.

Voici comment j'ai résumé l'histoire de mixité (de ce que j'ai compris) :

La propriété de mélange : signifie que pour tout x[0], on aura des x[n] parcourant tout l'intervalle [-v3/16+v²/4 , v/4]. Cette intervalle a part ailleurs la propriété d'attirer toute valeur de x appartenant à [0, 1] et ce pour l'éternité (après quelques itérations les x seront tous inclus dans [-v3/16+v²/4 , v/4] et n'en sortiront plus jamais). L'intervalle [-v3/16+v²/4 , v/4] est dit "attracteur".
Pourquoi l'intervalle est il [-v3/16+v²/4 , v/4] ? L'extrémité est v/4 car il s'agit en effet de la valeur maximale que peut espérer atteindre x. En effet si on dérive la fonction v x (1 – x) on trouve v x (0 - 1) + v (1 - x) = - v x + v – v x = v – 2 v x.
Si x = ½ ça vaut zéro. On a donc un maximum pour x = ½ (et pas un minima car la parabole est croissante puis décroissante). Ce maximum correspond à v/4.
Pourquoi la borne inférieur vaut-elle –v³/16 + v²/4 ? On injecte en fait v/4 dans l'équation de base pour trouver ce résultat. On est sûr qu'il s'agira de la valeur minimal que peut atteindre x car la plus grande chute ne peut être entraînée que par la plus grande valeur, qui est ici v/4. Il n'y aura pas de valeur différente de v/4 qui pourra entraîner une chute aussi profonde.
Concrètement cela veut aussi dire que si x prend pour valeur v/4, le terme suivant vaudra d'office –v³/16 + v²/4.



Par contre je n'ai toujours pas compris l'histoire de la fonction linéaire : pourquoi compare t'on l'amplification de l'erreur dans une fontcion linéaire avec uen fonction non linéaire !

Mais dans ce cas, comment différencer un système linéaire d'un système chaotique (vu que l'erreur, dans les deux cas, croît rapidement) ? Tout simplement que dans un système linéaire, la croissance de l'erreur relative est constante, contrairement à un système chaotique !

Si justement ce n'est pas la même chose, pourquoi mélanger les deux dans le cas du calcul de l'exposant ? Ce que je veux dire c'est que tu n'as pas répondu à ma question ou alors je n'ai pas saisi ta réponse...

[invitef591ed4b]

À priori : "le chaos se caractérise pas une sensibilité aux conditions initiales" aka "une petite erreur initiale s'amplifie rapidement".

Bon.

Le problème, c'est que cette condition est également remplie par les systèmes linéaires non-chaotique. De ce fait, il faut distinguer une amplification de l'erreur d'un système linéaire, avec celle d'un système réellement chaotique.

Pour cela, on observe que dans un système linéaire où l'erreur est amplifiée, l'erreur relative reste constante. Par contre, dans un système réellement chaotique, l'erreur s'amplifie, mais l'erreur relative n'est pas constante. En fait, l'erreur relative dans un système chaotique est "aléatoire", elle peut varier un peu comme elle veut ("son amplitude est celle du signal initial").

pourquoi mélanger les deux dans le cas du calcul de l'exposant ?

N'oublie pas que le rôle de l'exposant de Lyapunov, c'est de permettre d'identifier des systèmes chaotiques. Donc tu peux appliquer ce calcul sur n'importe quoi, y compris des systèmes linéaires. C'est juste que dans ce dernier cas, tu verras qu'ils ne sont pas chaotiques.

[invitebf1b2f4b]

Bon eh bien je pense que je suis prêt Je te dis quoi demain si mon exposé a satisfait mon professeur ou pas. Il devrait plaire selon moi

Juste que je me suis entrainé chez moi, je mets 1h10 à tout exposer alors que je ne dispose que de 50min, je devrais raccourcir certain passage... Mes camarades vont être largués...

Au fait, si par hasard mon exposé t'interesse (il n'est pas trop mauvais à mon avis ), je peux toujours te l'envoyer. C'est la moindre des choses je pense

[invitebf1b2f4b]

Bon hé bien voila j'ai eu 72/80
Ce qui représente actuellement la meilleur note de ma classe ^^

Merci infiniment à tout ceux qui m'ont aidé, en particulier Sephi !

[invitef591ed4b]

Je suis curieux de savoir qu'est-ce qui t'a coûté les 8 points manquants

[invitebf1b2f4b]

Lol Bonne question