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Périodicité



  1. #1
    Theyggdrazil

    Périodicité


    ------

    Bonjour

    J'aurais une question, qui sera peut-être toute bête peut-être pas...
    Soit une fonction f, telle que quelque soit t appartenant à R, l'intégrale de f entre t et t+T est nulle. Peut-on affirmer que f est T-périodique ?
    Avez-vous un contre-exemple ou bien mon idée est-elle correcte ?

    -----
    "Toute connaissance accessible doit être atteinte par des voies scientifiques" (B. Russell)

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  3. #2
    Theyggdrazil

    Re : Périodicité

    Si f est continue, ça marche simplement en appliquant le théorème fondamental de l'analyse et en redérivant. Mais si f est simplement continue par morceaux, ça marche aussi ?
    "Toute connaissance accessible doit être atteinte par des voies scientifiques" (B. Russell)

  4. #3
    doryphore

    Smile Re : Périodicité

    avec la fonction définie par:

    f(x)=1 pour 0<=x<1
    f(x)=-1 pour 1<=x<=2
    f(x)=1 pour 2<x<3
    f(x)=-1 pour 3<=x<=4,

    l'intégrale sur un intervalle de longueur 2 de f est toujours égale à 0, mais
    f(0)=1 et f(2)=-1
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  5. #4
    matthias

    Re : Périodicité

    Citation Envoyé par doryphore
    avec la fonction définie par:

    f(x)=1 pour 0<=x<1
    f(x)=-1 pour 1<=x<=2
    f(x)=1 pour 2<x<3
    f(x)=-1 pour 3<=x<=4,

    l'intégrale sur un intervalle de longueur 2 de f est toujours égale à 0, mais
    f(0)=1 et f(2)=-1
    oui, en fait il doit exister une fonction périodique telle que les deux fonctions soient égales presque partout, non ?

  6. #5
    doryphore

    Smile Re : Périodicité

    S'il me reste un peu d'intuition sur le sujet, je dirai que je suis d'accord avec toi... mais je n'ai pas trop envie de casser du epsilon ce soir...Je pense qu'une démonstration par l'absurde devrait pouvoir conforter cette hypothèse.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Theyggdrazil

    Re : Périodicité

    Merci pour la réponse rapide ^^

    Matthias, es-tu celui du forum de les-mathematiques.net ?

    Pourriez-vous svp m'en dire plus sur l'histoire de la fonction égale "presque partout" ? j'ai déjà rencontré cette notion mais je ne sais pas trop à quoi elle correspond...

    En fait cette question m'est venue en faisant la première question du sujet de maths MP 1 du concours polytechnique 2004...

    Merci encore ^^
    "Toute connaissance accessible doit être atteinte par des voies scientifiques" (B. Russell)

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  10. #7
    doryphore

    Smile Re : Périodicité

    En fait, il existe "au moins" deux définitions de l'intégrale, celle que tu étudies vers 18 ans est l'intégrale de Riemmann qui consiste à découper ton intervalle d'intégration en une subdivion de pas tendant vers 0 pour faire tendre une somme de plus en plus près de l'aire située sous la courbe (pour parler géométriquement, et en oubliant les fonctions non positives).

    Une alternative est l'intégrale de Lebesgue qui consiste grossièrement à faire des subdivisions sur les valeurs prises par la fonctions, cette fois...

    Ceci permet d'intégrer des fonctions moins régulières que celles intégrables par l'intégrale de Riemann.

    Le développement autour de ce nouveau type d'intégrales a conduit à considérer notamment la notion de métrique, puis de tribus (rien à voir avec les indiens) et de parties mesurables ou non mesurables.

    Une fonction nulle presque partout est une fonction nulle partout sauf sur une partie non mesurable.

    DAns le cas de R, on s'intéresse à la mesure de Borel et les parties non mesurables (non Borelienne) sont (mais je ne suis plus très sur) les réunions dénombrables de singletons...
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  11. #8
    matthias

    Re : Périodicité

    Citation Envoyé par doryphore
    Une fonction nulle presque partout est une fonction nulle partout sauf sur une partie non mesurable.

    DAns le cas de R, on s'intéresse à la mesure de Borel et les parties non mesurables (non Borelienne) sont (mais je ne suis plus très sur) les réunions dénombrables de singletons...
    A moins que je ne confonde, il faudrait remplacer ici "non mesurable" par "de mesure nulle".
    Sur IR, la tribu des boréliens étant engendrée par les intervalles ouverts:
    {x} = complémentaire de (]-infini;x[ union ]x;+infini[) est un borélen dont la mesure de Lebesgue est nulle.
    Une réunion dénombrable de singletons doit donc aussi être un borélien de mesure nulle.

  12. #9
    Theyggdrazil

    Re : Périodicité

    Merci beaucoup à vous ^^
    J'ai un pdf sur la théorie de la mesure... Sitôt les concours passés j'vais m'y atteler, ça a l'air vachement intéressant ^^

    Pour mon problème initial, il semblerait donc que mon hypothèse soit correcte alors ?
    "Toute connaissance accessible doit être atteinte par des voies scientifiques" (B. Russell)

  13. #10
    matthias

    Re : Périodicité

    Citation Envoyé par Theyggdrazil
    Merci beaucoup à vous ^^
    J'ai un pdf sur la théorie de la mesure... Sitôt les concours passés j'vais m'y atteler, ça a l'air vachement intéressant ^^

    Pour mon problème initial, il semblerait donc que mon hypothèse soit correcte alors ?
    Ben doryphore t'as donné un contre-exemple ...

  14. #11
    Theyggdrazil

    Re : Périodicité

    Lol oui c'est vrai ^^
    J'avais juste cru comprendre d'après ton post, que j'ai apparemment mal compris, qu'on pouvait se ramener à une fonction périodique.
    Bon, en tout cas me voilà soulagé lol
    "Toute connaissance accessible doit être atteinte par des voies scientifiques" (B. Russell)

  15. #12
    matthias

    Re : Périodicité

    Citation Envoyé par Theyggdrazil
    Lol oui c'est vrai ^^
    J'avais juste cru comprendre d'après ton post, que j'ai apparemment mal compris, qu'on pouvait se ramener à une fonction périodique.
    Bon, en tout cas me voilà soulagé lol
    Mon post disait que ta fonction devait être égale à une fonction périodique sauf sur un ensemble de mesure nulle (par exemple N, Z, Q).

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  17. #13
    doryphore

    Smile Re : Périodicité

    Citation Envoyé par matthias
    A moins que je ne confonde, il faudrait remplacer ici "non mesurable" par "de mesure nulle".
    Sur IR, la tribu des boréliens étant engendrée par les intervalles ouverts:
    {x} = complémentaire de (]-infini;x[ union ]x;+infini[) est un borélen dont la mesure de Lebesgue est nulle.
    Une réunion dénombrable de singletons doit donc aussi être un borélien de mesure nulle.

    D'accord avec toi!
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

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