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[TS+] Périodicité



  1. #1
    anonymus

    [TS+] Périodicité


    ------

    Bonjour,
    voila un exo... impossible pour moi. Je n'ai réussi aucune question.
    Alors j'aimerai un peu d'aide s'il vous plaît
    Merci bien !

    Soit f: R->R et T > 0
    f est T-périodique :

    1) Si f possède une limite en , mq f est constante.

    2) Si f continue non constante, mq f a une plus petite période.

    3) Si f continue, mq f bornée et atteint ses bornes.

    -----
    En Amérique, il faut d'abord avoir le sucre, ensuite on a le pouvoir et ensuite on a la femme.

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  3. #2
    chr57

    Re : [TS+] Périodicité

    salut,

    j'ai peut-être une idée pour la première:

    la limite en de f(x) est k (k appartenant à R):

    ainsi, tout intervalle I ouvert contenant k, contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand.

    Or, f est T-périodique, ainsi I contient toutes les valeurs de f(x).

    Conclusion: sachant que I désigne tout intervalle ouvert contenant k et contient toutes les valeurs de f(x), la fonction f est une fonction constante et f(x)=k.

    Peut-être qu'il y a une autre manière...
    Comment identifier un doute avec certitude ?, R.Devos.

  4. #3
    Ledescat

    Re : [TS+] Périodicité

    Bonsoir,pour la question 1 je propose aussi ceci:

    f admet une limite l en l'infini signifie :

    tel que

    Mais f périodique, donc cette propriété est vraie

    Jusqu'à arriver un moment donné à
    Peut-être pas, même sûrement pas tout rond, mais on arrivera bien un moment donné en dessous de 0 (csq de IR archimédien je crois...).

    Bref, tout ça pour dire que cette propriété devient indépendante de tout A, et revient à:

    f(x) et l étant des réels arbitrairement proches, cela signifie f(x)=l
    Et comme f périodique, f(x)=l pour les négatifs également.
    Cogito ergo sum.

  5. #4
    Gwyddon

    Re : [TS+] Périodicité

    Pour la deuxième question, introduire A l'ensemble des périodes de f.

    S'intéresser à la borne inférieure de A
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  6. #5
    Ledescat

    Re : [TS+] Périodicité

    J'essayais de partir de f continue et f n'a pas de plus petite période => f constante, en essayant de rendre indépendante d'étha la condition de continuité (ce qui donnerait, pour tout x, pour tout y, pour tout epsilon>0, |f(x)-f(y)|=<epsilon)
    Mais je m'emmêle un peu. Et la borne inf me fait peur .
    Cogito ergo sum.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Gwyddon

    Re : [TS+] Périodicité

    On peut vraiment y aller directement, il ne faut pas avoir peur des bornes inf
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

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  10. #7
    Ledescat

    Re : [TS+] Périodicité

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    il ne faut pas avoir peur des bornes inf
    Mdr, facile à dire .
    Déjà pour la définition, a=inf(M)
    tq
    C'est bien ça? Rien que la définition m'effraie. Je sais bien que l'on peut simplifier en disant que c'est le plus grand des minorants, mais bon j'ai vraiment toujours eu du mal avec son utilisation.
    Cogito ergo sum.

  11. #8
    Gwyddon

    Re : [TS+] Périodicité

    C'est parfait. Et d'ailleurs la seconde condition est fort utile pour la résolution de la question

    La définition est somme toute assez intuitive : elle signifie que l'on peut s'approcher d'aussi près que l'on veut de l'inf, sans jamais forcément l'atteindre
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  12. #9
    Ledescat

    Re : [TS+] Périodicité

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    C'est parfait. Et d'ailleurs la seconde condition est fort utile pour la résolution de la question

    La définition est somme toute assez intuitive : elle signifie que l'on peut s'approcher d'aussi près que l'on veut de l'inf, sans jamais forcément l'atteindre
    Oui, c'est vrai que la notion d'inf est assez intuitive. Mais mon gros problème en génral est mon manque d'intuition...
    Bref, le tout est de montrer que inf(M)=min(M)
    Ici ce serait plutôt une démonstration directe ? (et pas par la contraposée comme j'aurais eu tendance à le faire)
    Désolé de ces questions .
    Cogito ergo sum.

  13. #10
    Gwyddon

    Re : [TS+] Périodicité

    Tout à fait, il faut montrer que inf(M) est en fait un minimum. Et ça peut se faire directement (avec un petit raisonnement par l'absurde au milieu).
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  14. #11
    Ledescat

    Re : [TS+] Périodicité

    Bon, j'ai peut-être une ébauche de réponse .
    partie de IR minorée par 0, donc

    S'il existe a tq f(a+t0) différent de f(a), on pose m=f(a+t0)-f(a) > 0 (par exemple)

    En théorie, la continuité en (a+t0) donnerait:
    =>

    Mais il existe tel que

    Avec lequel on aura nécéssairement f(a+t1)=f(a).

    En prenant et

    On aura alors:

    Et donc f ne serait pas continue en a.
    Donc et f admet une plus petite période.
    Cogito ergo sum.

  15. #12
    Ledescat

    Re : [TS+] Périodicité

    Pour la dernière question, je dirais que sur [a,a+T], f est continue donc y atteint son minimum m et son maximum M. Or toutes les valeurs de f sont prises dans cet intervalle.
    Donc
    Mais ça me semble trop évident pour que ce soit la bonne réponse...
    Cogito ergo sum.

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  17. #13
    Gwyddon

    Re : [TS+] Périodicité

    Si si, c'est la bonne réponse, c'était assez facile en effet
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  18. #14
    Gwyddon

    Re : [TS+] Périodicité

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    Bon, j'ai peut-être une ébauche de réponse .
    partie de IR minorée par 0, donc
    Salut,

    Deux petites remarques :

    _ M est mal défini : les réels t sont nécessairement dans IR+* car une période est nécessairement strictement plus grande que zéro.

    _ Tu as réussi (par un chemin tordu ) à démontrer que m est une possible période ; mais il te faut maintenant montrer que m>0 !
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  19. #15
    chr57

    Re : [TS+] Périodicité

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    Bonsoir,pour la question 1 je propose aussi ceci:

    f admet une limite l en l'infini signifie :

    tel que

    Jusqu'à arriver un moment donné à

    Bref, tout ça pour dire que cette propriété devient indépendante de tout A, et revient à:

    f(x) et l étant des réels arbitrairement proches, cela signifie f(x)=l
    Une question : le fait que tout intervalle ouvert I (aussi petit que l'on veut) contienne k ne revient-il pas ?

    Et une autre: j'ai pas trop compris ce qu'est M (ça revient à R+, ici non?) et . Que signifie ?

    Merci.
    Comment identifier un doute avec certitude ?, R.Devos.

  20. #16
    Ledescat

    Re : [TS+] Périodicité

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message

    _ M est mal défini : les réels t sont nécessairement dans IR+* car une période est nécessairement strictement plus grande que zéro.
    Oui c'est vrai ,je me suis empressé en recopiant mon brouillon .

    _ Tu as réussi (par un chemin tordu ) à démontrer que m est une possible période ; mais il te faut maintenant montrer que m>0 !
    En fait, je suppose que t0 n'appartient pas à M. Donc qu'il n'est pas une période, donc qu'il existe a tq f(a+t0) différent de f(a).
    J'aurais plutôt dû poser |f(a+t0)-f(a)|=m >0 car c'est la valeur absolue qui intervient lorsqu'à la fin je fais |f(a+t0)-f(a+t1)|=|f(a+t0)-f(a)|=m >m/2
    C'est bon?
    Cogito ergo sum.

  21. #17
    Ledescat

    Re : [TS+] Périodicité

    Citation Envoyé par chr57 Voir le message
    Une question : le fait que tout intervalle ouvert I (aussi petit que l'on veut) contienne k ne revient-il pas ?

    Et une autre: j'ai pas trop compris ce qu'est M (ça revient à R+, ici non?) et . Que signifie ?

    Merci.
    Oui ta définition sous forme édictée veut dire la même chose.
    Sinon, toute partie minorée de IR possède une borne inf, toute partie majorée de IR possède une borne sup. La borne inf est le plus grand des minorants, la borne sup est le plus petit des majorants.
    Regarde mon post #7 , il te le définit (gwyddon confirme, alors ! ).

    Sinon M n'est pas tout R+, car M est l'ensemble des périodes. Et si pour tout y de R+, f(x+y)=f(x), ta fonction sera plutôt constante .
    Cogito ergo sum.

  22. #18
    Médiat

    Re : [TS+] Périodicité

    Pour la 1ère question, il me semble que l'on peut faire une remarque toute bête pour bien utiliser la propriété est archimédien :

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    f admet une limite l en l'infini signifie :

    tel que


    La justification est évidente :
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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  24. #19
    chr57

    Re : [TS+] Périodicité

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    Sinon, toute partie minorée de IR possède une borne inf, toute partie majorée de IR possède une borne sup. La borne inf est le plus grand des minorants, la borne sup est le plus petit des majorants.
    Regarde mon post #7 , il te le définit (gwyddon confirme, alors ! ).
    Ok, merci jai compris maintenant.

    Sinon M n'est pas tout R+, car M est l'ensemble des périodes. Et si pour tout y de R+, f(x+y)=f(x), ta fonction sera plutôt constante
    Ah ok, j'avais mal saisi au départ. M est l'ensemble des périodes tels qu'il existe t fixé appartenant à R+ donc.

    Sinon, pour la 2ème question, j'ai pas tout suivi mais ça doit être normal ...
    Comment identifier un doute avec certitude ?, R.Devos.

  25. #20
    Ledescat

    Re : [TS+] Périodicité

    M est l'ensemble des périodes tout court.
    Pour la question 2, attendons Gwyddon, je pense qu'il a une démonstration bien plus courte .
    Tient-elle dans une marge ?
    Cogito ergo sum.

  26. #21
    Gwyddon

    Re : [TS+] Périodicité

    Salut,

    En fait je me suis planté (j'ai recopié ma notation de l'inf...) et je voulais dire qu'il te faut montrer puisque une période est strictement positive...
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  27. #22
    Ledescat

    Re : [TS+] Périodicité

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Salut,

    En fait je me suis planté (j'ai recopié ma notation de l'inf...) et je voulais dire qu'il te faut montrer puisque une période est strictement positive...
    D'accord. Mais comme t0 est l'inf d'un ensemble minoré par 0, alors t0>=0
    Mais montrer que t0 n'est pas égal à 0 j'avoue que...
    Cogito ergo sum.

  28. #23
    Gwyddon

    Re : [TS+] Périodicité

    Et bien justement, raisonne par l'absurde et demande-toi ce qui se passe si jamais
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  29. #24
    Ledescat

    Re : [TS+] Périodicité

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Et bien justement, raisonne par l'absurde et demande-toi ce qui se passe si jamais
    Merci pour ton aide.
    Préciser que pour tout x , f(x+0)=f(x) est inutile ...disons que c'est le cas de toute fonction .
    Je tourne un peu en rond sur cette condition de non nullité.
    Cogito ergo sum.

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  31. #25
    Gwyddon

    Re : [TS+] Périodicité

    N'oublie pas que ta fonction est sensée être non constante
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  32. #26
    Ledescat

    Re : [TS+] Périodicité

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    N'oublie pas que ta fonction est sensée être non constante
    Oui c'est vrai , je me disais que je n'avais pas utilisé une hypothèse...
    En faisant une démonstration "avec les mains" :
    si 0=min(M)
    Pour tout epsilon>0, on peut trouver t1<epsilon tel que f(a+t1)=f(a),et la continuité nous imposerait que dans un voisinage de a, f est constante (donc sur tout IR par translations). Mais j'avoue que c'est très "on voit que" . (honte à moi!)
    Cogito ergo sum.

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