Bonjour,
voila un exo... impossible pour moi. Je n'ai réussi aucune question.
Alors j'aimerai un peu d'aide s'il vous plaît
Merci bien !
Soit f: R->R et T > 0
f est T-périodique :
1) Si f possède une limite en
2) Si f continue non constante, mq f a une plus petite période.
3) Si f continue, mq f bornée et atteint ses bornes.
salut,
j'ai peut-être une idée pour la première:
la limite en
ainsi, tout intervalle I ouvert contenant k, contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand.
Or, f est T-périodique, ainsi I contient toutes les valeurs de f(x).
Conclusion: sachant que I désigne tout intervalle ouvert contenant k et contient toutes les valeurs de f(x), la fonction f est une fonction constante et f(x)=k.
Peut-être qu'il y a une autre manière...
Bonsoir,pour la question 1 je propose aussi ceci:
f admet une limite l en l'infini signifie :
Mais f périodique, donc cette propriété est vraie
Jusqu'à arriver un moment donné à
Peut-être pas, même sûrement pas tout rond, mais on arrivera bien un moment donné en dessous de 0 (csq de IR archimédien je crois...).
Bref, tout ça pour dire que cette propriété devient indépendante de tout A, et revient à:
f(x) et l étant des réels arbitrairement proches, cela signifie f(x)=l
Et comme f périodique, f(x)=l pour les négatifs également.
Pour la deuxième question, introduire A l'ensemble des périodes de f.
S'intéresser à la borne inférieure de A
J'essayais de partir de f continue et f n'a pas de plus petite période => f constante, en essayant de rendre indépendante d'étha la condition de continuité (ce qui donnerait, pour tout x, pour tout y, pour tout epsilon>0, |f(x)-f(y)|=<epsilon)
Mais je m'emmêle un peu. Et la borne inf me fait peur.
On peut vraiment y aller directement, il ne faut pas avoir peur des bornes inf
Mdr, facile à direEnvoyé par Gwyddon
il ne faut pas avoir peur des bornes inf
Déjà pour la définition, a=inf(M)
C'est bien ça? Rien que la définition m'effraie. Je sais bien que l'on peut simplifier en disant que c'est le plus grand des minorants, mais bon j'ai vraiment toujours eu du mal avec son utilisation.
C'est parfait. Et d'ailleurs la seconde condition est fort utile pour la résolution de la question
La définition est somme toute assez intuitive : elle signifie que l'on peut s'approcher d'aussi près que l'on veut de l'inf, sans jamais forcément l'atteindre
Oui, c'est vrai que la notion d'inf est assez intuitive. Mais mon gros problème en génral est mon manque d'intuition...C'est parfait. Et d'ailleurs la seconde condition est fort utile pour la résolution de la question
La définition est somme toute assez intuitive : elle signifie que l'on peut s'approcher d'aussi près que l'on veut de l'inf, sans jamais forcément l'atteindre
Bref, le tout est de montrer que inf(M)=min(M)
Ici ce serait plutôt une démonstration directe ? (et pas par la contraposée comme j'aurais eu tendance à le faire)
Désolé de ces questions
Tout à fait, il faut montrer que inf(M) est en fait un minimum. Et ça peut se faire directement (avec un petit raisonnement par l'absurde au milieu).
Bon, j'ai peut-être une ébauche de réponse
S'il existe a tq f(a+t0) différent de f(a), on pose m=f(a+t0)-f(a) > 0 (par exemple)
En théorie, la continuité en (a+t0) donnerait:
Mais il existe
Avec lequel on aura nécéssairement f(a+t1)=f(a).
En prenant
On aura alors:
Et donc f ne serait pas continue en a.
Donc
Pour la dernière question, je dirais que sur [a,a+T], f est continue donc y atteint son minimum m et son maximum M. Or toutes les valeurs de f sont prises dans cet intervalle.
Donc
Mais ça me semble trop évident pour que ce soit la bonne réponse...
Si si, c'est la bonne réponse, c'était assez facile en effet
Salut,Bon, j'ai peut-être une ébauche de réponse
Deux petites remarques :
_ M est mal défini : les réels t sont nécessairement dans IR+* car une période est nécessairement strictement plus grande que zéro.
_ Tu as réussi (par un chemin tordu
Une questionBonsoir,pour la question 1 je propose aussi ceci:
f admet une limite l en l'infini signifie :
Jusqu'à arriver un moment donné à
Bref, tout ça pour dire que cette propriété devient indépendante de tout A, et revient à:
f(x) et l étant des réels arbitrairement proches, cela signifie f(x)=l
Et une autre: j'ai pas trop compris ce qu'est M (ça revient à R+, ici non?) et
Merci.
Oui c'est vrai ,je me suis empressé en recopiant mon brouillon
En fait, je suppose que t0 n'appartient pas à M. Donc qu'il n'est pas une période, donc qu'il existe a tq f(a+t0) différent de f(a)._ Tu as réussi (par un chemin tordu
J'aurais plutôt dû poser |f(a+t0)-f(a)|=m >0 car c'est la valeur absolue qui intervient lorsqu'à la fin je fais |f(a+t0)-f(a+t1)|=|f(a+t0)-f(a)|=m >m/2
C'est bon?
Oui ta définition sous forme édictée veut dire la même chose.Une question
Et une autre: j'ai pas trop compris ce qu'est M (ça revient à R+, ici non?) et
Merci.
Sinon, toute partie minorée de IR possède une borne inf, toute partie majorée de IR possède une borne sup. La borne inf est le plus grand des minorants, la borne sup est le plus petit des majorants.
Regarde mon post #7 , il te le définit (gwyddon confirme, alors !
Sinon M n'est pas tout R+, car M est l'ensemble des périodes. Et si pour tout y de R+, f(x+y)=f(x), ta fonction sera plutôt constante
Pour la 1ère question, il me semble que l'on peut faire une remarque toute bête pour bien utiliser la propriété
f admet une limite l en l'infini signifie :
La justification est évidente :
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Ok, merci jai compris maintenant.Sinon, toute partie minorée de IR possède une borne inf, toute partie majorée de IR possède une borne sup. La borne inf est le plus grand des minorants, la borne sup est le plus petit des majorants.
Regarde mon post #7 , il te le définit (gwyddon confirme, alors !
Ah ok, j'avais mal saisi au départ. M est l'ensemble des périodes tels qu'il existe t fixé appartenant à R+ donc.Sinon M n'est pas tout R+, car M est l'ensemble des périodes. Et si pour tout y de R+, f(x+y)=f(x), ta fonction sera plutôt constante
Sinon, pour la 2ème question, j'ai pas tout suivi mais ça doit être normal ...
M est l'ensemble des périodes tout court.
Pour la question 2, attendons Gwyddon, je pense qu'il a une démonstration bien plus courte
Tient-elle dans une marge ?
Salut,
En fait je me suis planté (j'ai recopié ma notation de l'inf...) et je voulais dire qu'il te faut montrer
D'accord. Mais comme t0 est l'inf d'un ensemble minoré par 0, alors t0>=0Salut,
En fait je me suis planté (j'ai recopié ma notation de l'inf...) et je voulais dire qu'il te faut montrer
Mais montrer que t0 n'est pas égal à 0 j'avoue que...
Et bien justement, raisonne par l'absurde et demande-toi ce qui se passe si jamais
Merci pour ton aide.Et bien justement, raisonne par l'absurde et demande-toi ce qui se passe si jamais
Préciser que pour tout x , f(x+0)=f(x) est inutile
Je tourne un peu en rond sur cette condition de non nullité.
N'oublie pas que ta fonction est sensée être non constante
Oui c'est vrai , je me disais que je n'avais pas utilisé une hypothèse...N'oublie pas que ta fonction est sensée être non constante
En faisant une démonstration "avec les mains" :
si 0=min(M)
Pour tout epsilon>0, on peut trouver t1<epsilon tel que f(a+t1)=f(a),et la continuité nous imposerait que dans un voisinage de a, f est constante (donc sur tout IR par translations). Mais j'avoue que c'est très "on voit que"
