Topologie-Adherence

[invite5d9066d8]

Bonjour,
j'ai un problème avec un exercice, dont le but est de déterminer l'adhérence de plusieurs parties. Tout se passait bien lorsque j'arrive a la partie suivante :
D={ (1/n, n), n entier naturel positif}
Cet ensemble n'est pas ouvert, et j'ai également trouvé qu'il n'était pas fermé. Or la correction dit que si. Je ne comprend pas puisque la suite Un=1/n a pour limite 0, or il n'existe pas de points dans D tel que x=0. Je suis a coté de la plaque ou c'est la correction qui est fausse (sans vouloir paraître prétentieux) ?
Merci de m'avoir accordé votre attention.
CheikHNewtoN.
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[invitea0b22930]

Je ne comprend pas puisque la suite Un=1/n a pour limite 0,

C'est bien vrai, mais le problème se situe dans le plan. Le disque de centre O et de rayon 1/2 (par exemple) ne contient aucun point de l'ensemble.

[invite5d9066d8]

Pardon AbouAntoun mais je ne comprend pas bien ce que vous voulez dire.
Le complementaire de D est ouvert ?

[invitea0b22930]

Oui !
Prenons un point (x,y) qui n'est pas dans D.
Alors de deux choses l'une soit y est entier soit il ne l'est pas.
S'il ne l'est pas, soit e la distance de y à l'entier le plus proche. Le disque de centre (x,y) et de rayon e/2 ne peut rencontrer D.
Si y est entier alors x n'est pas égal à 1/n pour aucun entier n. Si x=0 alors le disque de centre (0,y) et de rayon 1/2 ne rencontre pas D.
Si x n'est pas 0 alors la distance de x à l'ensemble des nombres de la forme 1/n est e>0. Cette fois encore on peut conclure avec un disque de centre (x,y) et de rayon e/2 .
Dans tous les cas on peut trouver un disque de centre (x,y) ne rencontrant pas D. ce qui veut dire que le complémentaire de D est ouvert et donc que D est fermé.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebfd92313]

une autre facon de voir la chose est que la distance entre 2 poitns de ton ensemble est toujours plus grande que 1, donc les suites convergentes d'éléments de l'ensemble sont stationnaires, et il est donc fermé.

[invite5d9066d8]

Ah merci a vous, je crois avoir compris. En fait c'est le meme principe que l'ensemble des npbres entiers par exemple, il est fermé car son complementaire est ouvert (justement parce que il y a toujours une unité de distance entre 2 points de cet ensemble). J'ai bon ?