mode de convergence

[invite7c6483e1]

Bonjour,
est-ce que la convergence équivaut à la convergence presque partout? A priori, la convergence implique la convergence p.p. puisqu'il suffit de voir qu'un représentant de la limite de la suite de classes dans est égal presque partout à la limite de la suite vue dans . Pour la réciproque je m'embrouille...
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[invitea6f35777]

Salut,

Il est FAUX que la convergence implique la convergence presque partout (du moins pour la mesure de Lebesgue). D'ailleurs il existe un contre-exemple archi-classique qu'on appelle "la bosse glissante" d'une suite de fonction intégrables qui converge en norme vers et qui ne converge ponctuellement en AUCUN point (et donc à fortiori elle ne peut converger presque partout). Par contre, il est vrai que de toute suite qui converge en norme on peut extraire une sous-suite qui converge presque partout. La réciproque, c-à-d savoir si la convergence presque partout entraine la convergence c'est exactement le théorème de convergence dominée de Lebesgue, à savoir, si on a une hypothèse de domination ça marche, sinon ça peut ne pas marcher (là encore on peut trouver des contre-exemples).

Dans n'importe quel bon livre ou bon poly sur l'intégration tu trouveras les démonstrations de ce que je viens de dire.

[invite7c6483e1]

merci bien et au temps pour moi ! ^^