Dérivabilité de la fonction zêta de Riemann

[Seirios]

Bonjour à tous,

Je cherche une démonstration montrant que la fonction zêta de Riemann est de classe sur , je ne l'ai pas trouvée en cherchant sur Internet.

Quelqu'un l'aurait-il sous la main ?

Merci d'avance
Phys2
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[invitec7c23c92]

Salut,

On appelle f_n(s) = 1/n^s.

Alors zeta est la somme de la série des f_n, pour n>0.

f_n est de classe C^oo sur ]1,+oo[.
Sa dérivée k-ième est f_n^(k)(s)= (-ln n)^k / n^s

Alors il suffit de montrer que, sur tout intervalle ]a,+oo[ (où a>1) :
* la série des f_n est absolument convergente
* pour tout k, la série des f_n^(k) est absolument convergente
pour avoir :
* la somme zeta de la série des f_n est de classe C^oo
* et sa dérivée k-ième est la somme de la série des f_n^(k).


(Plus généralement on peut montrer que f est holomorphe sur le demi plan des nombres complexes de partie réelle >1 ; et quand on la prolonge classiquement sur l'autre demi plan, qu'elle est méromorphe sur C.)

[Seirios]

On appelle f_n(s) = 1/n^s.

Alors zeta est la somme de la série des f_n, pour n>0.

f_n est de classe C^oo sur ]1,+oo[.
Sa dérivée k-ième est f_n^(k)(s)= (-ln n)^k / n^s

Alors il suffit de montrer que, sur tout intervalle ]a,+oo[ (où a>1) :
* la série des f_n est absolument convergente
* pour tout k, la série des f_n^(k) est absolument convergente
pour avoir :
* la somme zeta de la série des f_n est de classe C^oo
* et sa dérivée k-ième est la somme de la série des f_n^(k).

Il suffit simplement que je montre que et existent ? (ce n'est pas bien difficile, donc je me méfie )

[invitec7c23c92]

Il suffit simplement que je montre que et existent ? (ce n'est pas bien difficile, donc je me méfie )

Non seulement qu'elles convergent, mais que la convergence est uniforme.

C'est à dire que le sup de tend vers 0 quand n tend vers l'infini (autrement dit la série converge "partout en même temps")

On peut encore écrire ça sous la forme : le sup de
tend vers 0.

Ce n'est pas bien difficile à montrer, parce que les 1/n^s sont décroissants, donc si on se place sur l'intervalle ]a,+oo[, ce sup vaut
qui tend bien vers 0.


idem pour les séries dérivées.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Il faut donc que je montre ensuite que tend vers zéro ? (une piste si c'est le cas ?)

[invitec7c23c92]

C'est ça.

C'est pareil que pour zeta : le sup est atteint en a

[Seirios]

Mais dans ce cas, je ne connais pas l'expression de , donc je ne peux pas simplifier l'écriture du sup, ou en tout cas, je ne vois pas...(un petit indice ?)

[Seirios]

Un petit up

[invitec7c23c92]

zeta^(k)(s), ça va précisément être la somme de la série des (-ln(n))^k/n^s.

Le plan de la démo est le suivant :

- Montrer que la série des 1/n^s converge absolument.
- Montrer que chaque fonction s->1/n^s est de classe C^oo, et sa dérivée k-ième est (-ln(n))^k/n^s.
- Montrer que pour tout k, la série des (-ln(n))^k/n^s converge absolument.

Alors on en déduit :
- La somme des 1/n^s (c'est à dire zeta..) est de classe C^oo
- sa dérivée k-ième (c'est à dire zeta^(k)) est la somme des (-ln(n))^k/n^s.

[Seirios]

Mais dans le message #4, tu dis qu'il faut montrer une convergence uniforme... Donc faut-il que je montre que converge ou bien que tend vers 0 ?

[invite6bacc516]

Pour montrer que existe et est de classe sur , il faut (avec les notations précédentes) :

- que les soient de classe sur ,
- que les convergent simplement sur et uniformément à partir d'un certain rang (ici la convergence est normale à tout rang).

On en déduit alors :

- que les convergent uniformément sur ,
- que est de classe sur ,
- que la dérivée s'obtient en dérivant terme à terme, i.e. qu'on a pour tout k :



Concernant ta dernière remarque, on ne peut pas parler de la dérivée k-ième de zêta sans avoir prouvé son existence, et de toutes manières la deuxième proposition serait quelque peu ardue à montrer (on ne connaît rien sur la dérivée k-ième de zêta à ce niveau de l'étude). Ce qu'il faut montrer ici (et ce sera toujours la chose à vérifier lorsqu'il faudra avoir une propriété de convergence uniforme), c'est qu'il y a convergence normale : la série des normes sup (qui existent) converge. Cela est souvent aisé à montrer (il y aura tout au plus une étude de fonction à faire), et implique la convergence uniforme, la convergence absolue et la convergence simple.

[Seirios]

Pour montrer que existe et est de classe sur , il faut (avec les notations précédentes) :

- que les soient de classe sur ,

Cela doit se montrer assez facilement par récurrence.

- que les convergent simplement sur et uniformément à partir d'un certain rang (ici la convergence est normale à tout rang).

Pour la convergence simple, on utilise la convergence absolue comme condition suffisante et . Puis on en déduit la conclusion avec la convergence de la série de Riemann , puisque .

Ensuite, pour la convergence uniforme, on utilise la convergence normale comme condition suffisante ; on a alors .

Est-ce correct ?