ED linéaire du 1er ordre

[invite5c48f8c5]

Bonjour,

Voilà j'ai un petit problème de maths que j'aimerai résoudre mais sur lequel malheureusement je buche.

L'intitulé est le suivant :

"montrez qu'il existe une unique fonction f de classe C1 sur R qui vérifie :

qqsoit xER xf'(x)+2f(x)=x/(x²+1)
en précisant en particulier f'(0)"

Alors voilà, j'ai tout d'abord essayé de trouver toutes les fonctions de ce type sur R+*, pour ensuite le faire sur R-* mais voilà je bloque.
J'ai commencé par chercher la solution générale sur R+* : f(x)=K1/x² puis j'ai tenté d'appliquer la méthode de variation de la constante : et j'obtiens K1'(x) = x²/(x²+1). Par la suite j'éprouve des difficultés pour en déduire K1(x) ... j'ai tenté une intégration par partie, remarquant que je pouvais faire apparaitre de l'arctan(x) grâce au (x²+1) mais sans grand succès ...

Si quelqu'un pouvait me donner un petit coup de main, me lancer sur une piste je lui en serait reconnaissant
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[KerLannais]

bonjour,



De façon générale, pour intégrer une fonction rationnelle il faut la décomposer en éléments simples sans oublier d'extraire la partie entière

[invite5c48f8c5]

ahhhh oui ! merci beaucoup !

donc sur R+* j'ai K(x)= x-Arctan(x) + C1 (où C1 constante sur R) et je trouve les fonctions de type f(x) = 1/x - arctan(x)/x² + C1/ x solutions du problème.

Sur R-* on a le même type de fonction f(x) = 1/x - arctan(x)/x² + C2/x solutions du problème non ?
(car 2ln(-x) = ln(x²) et on retombe sur le cas dans R+* à l'exception de la constante qui peut être différente)

Mais le problème vient ensuite quand il s'agit de montrer qu'il existe une fonction unique de classe C1 dans R qui soit solution de problème ... il faut montrer que C1=C2?
je ne sais pas du tout pas où commencer ... si quelqu'un peut me donner un coup de main ...

[KerLannais]

Salut,

Déjà il me semble que c'est C1/x^2 et pas C1/x, mais bon c'est un détail. Ensuite, si tu suppose qu'il existe une solution sur R qui est C1, elle est à fortiori solution sur R+ et sur R- et elle est donc forcément égale sur R+ et R- aux solutions que t'as trouvé pour certaines valeurs de C1 et C2. Après il faut utiliser le fait qu'elle est définie et continue en 0, et pour cela la seule possibilité c'est que C1=C2=0, sinon il y a une limite + ou - infinie en 0. Il suffit de vérifier que la fonction trouvée est alors bien solution pour conclure.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5c48f8c5]

encore merci pour ton aide ... j'ai compris la fin du raisonnement que tu exposes mais pas le : "Ensuite, si tu supposes qu'il existe une solution sur R qui est C1, elle est à fortiori solution sur R+ et sur R- et elle est donc forcément égale sur R+ et R- aux solutions que t'as trouvé pour certaines valeurs de C1 et C2"

PS : en effet c'est C1/x² et C2/x² faute de clavier

[invite6f25a1fe]

En gros, tu as résolu ton équation sur les deux 2 demi-plans R+* et R-*. sur ces demi-plans, les solutions que tu as trouvé sont C1.

Ce que veut dire KerLannais, c'est que tu cherches une solution (on va l'appeler f) C1 sur R solution de ton équation. Or tu peux très bien restraindre cette fonction sur les 2 demi-plans. En gros, ou f+ est la restriction de f sur R+* et f- la restriction de f sur R-*.

Or tu as trouvé toutes les fonctions C1 sur R+*. Et f+ est justement solution et C1 sur R+*. Tu es donc sûr que f+=k1/x².

De même, sur R-*, tu as trouvé toutes les solutions. Donc tu es sûr que f- est de la forme f-=k2/x²

Le problème, c'est donc de voir comment raccorder ces solutions (f+ et f-) pour obtenir ta fonction f (f=f+ + f-) qui doit être C1 sur R. Comme tu sais que tes deux fontions f+ et f- sont C1 sur R+* et R-*, c'est que le problème de raccordement sera en 0. Concretement, il faut trouver C1 et C2 de telle facon que f=f+ + f- soit continu en 0, c'est-à-dire que (ta solution ne peut pas diverger en 0)
La seule solution pour avoir c'est de prendre k1=0=k2.

En d'autres termes, la seule solution C1 sur R est la fonction nulle.