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bases... et sans doute un peu de délire autour



  1. #1
    planck

    bases... et sans doute un peu de délire autour


    ------

    bonjour à tous

    voilà je me posais une petite question à la limite entre maths et physique, bon j'essaye ici...

    je crois savoir qu'on peut considérer un repère cartésien, pas forcément orthonormé, comme une base d'espace vectoriel, et que le passage d'une base à une autre se fait relativement facilement sous certaines conditions;

    la question que je me posais est: en est-il de même avec les autre repères utilisés en physique, comme le cylindrique ou le sphérique? je veux dire, est-ce conceptualisé avec les mêmes outils? je crois qu'ils dépendent de plusieurs paramètres, leurs points d'applications, il faut définir des directions,... est ce que le changement de base est alors aussi évident?

    et ne pourrait-on pas imaginer des repères dans lesquelles les directions ne seraient pas des droites, mais formeraient, à partir d'un point une spirale, une sinusoïde et une exponentielle par exemple, avec en plus des intervalles de longueur non réguliers, et toujours pouvoir conceptualiser le tout avec des matrices? (ne me demandez pas à quoi çapourrait servir par contre, c'était juste une question qui me traversait l'esprit... hein? quoi? comment? ce que j'ai fumé??!!

    merci aux quelques rares réponses que j'auraient peut etre vu la torsion de ma question (torduité, ça rend plus compte, mais c'est pas français... )

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  3. #2
    planck

    Re : bases... et sans doute un peu de délire autour

    au fait, je voulais juste quand meme preciser que la réponse m'intéresse vraiment, malgré.... l'"humour"? que je fais à son propos, car la question me parait quand même curieuse, je l'avoue!

  4. #3
    doryphore

    Smile Re : bases... et sans doute un peu de délire autour

    Oui, il existe des transformations continues pour passer des repères cartésiens aux repères cylindriques ou sphériques (attendre un ou deux ans pour l'étudier en mécanique) et inversement...

    Pour la deuxième partie de ta question, je pourrais dire que je croire savoir que le calcul tensoriel a un rapport avec ce que tu demandes...
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  5. #4
    planck

    Re : bases... et sans doute un peu de délire autour

    d'accord... est ce que "mathematiquement" parlant, on utilise aussi des matrices, en ayant par exemple des éléments variables à l'interieur? ou ça change complètement?

    en tout cas, merci pour la réponse!

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    doryphore

    Smile Re : bases... et sans doute un peu de délire autour

    Je n'ai jamais fait de calcul tensoriel, je sais juste que c'est l'outil qui permet de travailler en relativité générale et j'en déduis que cet outil doit pouvoir s'appliquer pour des repères dans lesquels la métrique varie en fonction de la position... Des physiciens pourraient t'en dire plus... Deep-Turtle ou M-théorie entre autres...
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  8. #6
    martini_bird

    Re : bases... et sans doute un peu de délire autour

    Salut,

    les tenseurs ont cet avantage de justement être indépendant du repère choisi.

    En ce qui concerne l'idée de Planck, je crois que ce qui s'en rapproche le plus est la notion de difféomorphisme global. Mais alors plus question de faire usage des matrices, qui n'interviennent que pour les transformations linéaires.

    Cordialement.

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  10. #7
    planck

    Re : bases... et sans doute un peu de délire autour

    ouh là.... métrique, difféomorphisme global... je crois que je vais devoir patienter encore un petit peu avant de connaître tout ça... même si le nom du premier laisse un peu présager de ce que c'est (définir des normes et les espaces dans lesquelles elles s'appliquent???)

    en tout cas merci d'avoir pris en considérations les interrogations méta-mathématiques d'un humble terminale

  11. #8
    GrisBleu

    Re : bases... et sans doute un peu de délire autour

    salut

    une base ca peut etre vraiment pas triviale effectivement
    comme tu es en terminal, tu dois voir en physique l equation differentielle du RLC

    y''+y'+y = 0 (avec les bonnes constantes)

    les solutions forment un espace vectoriel :
    - tu peux les additionner (la somme sera encore une solution)
    - tu peuxl les multiplier par une constante (le resultat sera encore une solution)

    un base de cet espace est {sin,cos}. Donc tu vois que ce n est plus trop une "ligne". Et il y en a des plus compliquees de bases pour des espaces bien abstraits

  12. #9
    martini_bird

    Re : bases... et sans doute un peu de délire autour

    Salut,

    wlad_von_tokyo, je ne suis pas tout à fait d'accord avec toi: la base {sin, cos} engendre malgré tout un plan... qui est plat!

    Dans ton exemple, la différence réside surtout dans le fait que les vecteurs sont ici des fonctions et que ce plan est un sous-espace d'un espace vectoriel de dimension infini. Mais ce qui est justement sympathique dans les ev, c'est qu'ils sont "plats".

    Sur une variété, c'est sûr que c'est différent.

    Cordialement.

  13. #10
    GrisBleu

    Re : bases... et sans doute un peu de délire autour

    bien d accord avec toi martini_bird !! c est pratique les ev
    mais m.planck n aurait peut etre pas aime qu on commence a partir dans les trucs "exotiques" car pas si abordables avec des outils du lycee
    Quand je suis arrive en sup ca me faisait triper de parler de vecteur qui etaient des fonctions et d ecrire que le cosinus de l angle (cos,sin) est de 0 (a partir de ce moment la, on est consideres comme definitivement perdus par nos potes de fac ). Alors cet exemple m est venu

  14. #11
    matthias

    Re : bases... et sans doute un peu de délire autour

    Oui, c'est vrai qu'au début ça fait bizarre de "faire rentrer" des équas diff, des nombres, des fonctions, et un peu de tout dans les mêmes structures algébriques.

  15. #12
    martini_bird

    Re : bases... et sans doute un peu de délire autour

    Et puis on comprend un beau jour que ce qui est sous-jacent, c'est la linéarité.

    En fait, on comprend combien c'est facile de travailler avec des ev quand on ne travaille plus que sur des modules sur un anneau (pas forcément commutatif en plus!)... snif, c'était bien la prépa.

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  17. #13
    planck

    Re : bases... et sans doute un peu de délire autour

    oui si comme ça m'intéresse, je suis quand même un peu vu ce qu'étaient les espaces vectoriels (de façon vraiment basiques!), avec le corps commutatif, les conditions d'associatvité, distributivité etc...
    à ce propos je me pose une petite question: ce qu'on nomme Vect(A), où A est une partie de E espace vect, est ce que c'est, intuitivement, l'ensemble des élements de E que l'on peut obtenir en les "construisant" avec les différentes lois et proprietes de l'espace en partant uniquement des éléments de A? dans ce cas là, je suppose qu'il existe des parties A et A' telles que vect(A) = vect(A') non (des parties qui seraient liées peut etre)? est-ce un peu la même idée (l'engendrement) que lorsque qu'on parle d'un groupe, la construction à partir d'élements que l'on se fixe du plus grand sous-ensemble possible? enfin, c'est comme ça que je le voie intuitivement (j'aime bien "voir" les choses, je trouve que ça aide pas mal <= vous pouvez me donner votre avis par rapport à ça!! bon j'apprends aussi mes formules...)

    mais ma question originelle était plus dans le sens du "repérage physique" d'un point dans l'espace auquel on est habitué (avant d'aller en prépa du moins!! ) mais bon comme je sais pas quelle est sa nature mathématique...!

    et désolé pour ceux qui vont surement bondir en lisant ce post...

  18. #14
    matthias

    Re : bases... et sans doute un peu de délire autour

    Pas de raison de bondir.
    Oui c'est à peu près la même chose que dans les groupes:
    Vect(A) = plus petit sous-espace vectoriel contenant A = ensemble des combinaisons linéaires finies d'éléments de A.

  19. #15
    martini_bird

    Re : bases... et sans doute un peu de délire autour

    Au sujet du sous-espace vectoriel engendré par une partie, je crois que tu as compris le procédé: Vect(A) est l'ensemble des combinaisons linéaires des éléments de A, et c'est aussi le plus petit sous-espace vectoriel contenant A dans E.

    Au sujet du repérage physique, il faudrait prendre un exemple: prenons le plan euclidien muni d'un repère orthonormé (O, , ). Les cordonnées cartésiennes d'un point M sont évidemment les composantes sur chacun des vecteurs de la base, i.e. .

    Les coordonnées polaires consistent en revanche en la donnée de la distance r=||OM|| et de l'angle orienté .

    Pour passer des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes, un calcul simple donne:
    x=r cos
    y=r sin

    Tu constates ainsi que x et y ne sont pas des fonctions linéaires de r et .

    Cordialement.

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