Aide approximation et fonctions équivalentes

[inviteeba4c912]

Bonjour,

J'espère que je post au bon endroit.

Je vous explique mon problème. J'ai deux valeurs A et B. Elles sont normalement au voisinage de 1.

Je leur applique deux traitements. Le logarithme de base 2 et la moyenne des deux valeurs. Dans un cas j'applique le log2 en premier puis je fais la moyenne des valeurs, dans un second cas je fais la moyenne des valeurs puis je prend le log2. Et je souhaite montrer que le résultat est approximativement le même les deux cas (si cela est vrai mais il semble que ça l'est au vu de mes expériences).

Je souhaite donc montrer que [log2(A) + log2(B)]/2 et log2([A+B]/2) son des valeurs équivalentes quand A et B sont au voisinage de 1.

Mon début de raisonnement est le suivant:
- On sait que ln(1+x)/x tend vers 1 quand x tend vers 0
- Donc ln(1+x) ~ x quand x tend vers 0
- Si on change de variable x+1 = X alors ln(X) ~ X-1 quand X tend vers 1
- En divisant par ln(2), on obtient log2(X) ~ (X-1)/ln(2) quand X tend vers 1

Et là je suis bloqué, je cafouille et je crois que je confond valeur et fonction dans ma tête. Cela fait près de 2 ans que je n'ai pas fais de mathématiques et ça s'oublie très vite.

Si vous avez une idée pour montrer avec rigueur l'équivalence.
Merci d'avance.
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[invite8bc5b16d]

Salut,

Si tu notes A = 1 + a et B = 1 + b (donc tu as a et b au voisinage de 0), tu as ln(A) + ln(B) = ln(A*B) = ln(1 + a + b + a*b) ~ a+b au premier ordre si a et b sont de même ordre

d'autre part, ln((A+B)/2) = ln(1+(a+b)/2) ~ (a+b)/2

je te laisse passer au log2 pour conclure

[inviteeba4c912]

Merci beaucoup alien49 !

Explication simple mais efficace
Par contre j'ai un peu de mal avec ln(1+a+b+a*b) ~ a+b. Ca doit etre évident mais je comprend pas trop. Je me souviens des développements limités du genre ln(1+x) = x + o(x). Donc la on aurait ln(1 + a + b + a*b) ~ a + b + a*b.
Mais comment je néglige le a*b ? Y a-t-il une justification que je pourrais apporter ?

[invite8bc5b16d]

en fait le développement de ln(1+x) vaut x - x²/2+...- (-1)^n * x^n/n + O(x^n)
or si a et b sont petits tous les deux, a*b joue le même rôle que x² dans l'expression ci-dessus, et il faut donc le négliger si tu prends ln(1+x) ~ x, il rentre dans le O(x)

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteeba4c912]

Ha ca y est j'ai compris.
Je pense utiliser les propriétés de composition des développements limités.
on a f(x) = ln(1+x) = x + o(x)
g(a,b) = a + b + a*b = a + b + o(a+b)

et donc f(g(a,b)) = ln(1 + a + b + a*b) = a + b + o(a+b)

g est bien une fonction a deux variables ? Et donc j'aurais utiliser des développement limités sur une fonction a deux variables au dessus et dans mes précédents posts ? Je ne l'ai jamais fais auparavant. Est-ce que c'est possible et correct ?

Merci beaucoup pour ton aide alien49 !!

[invite8bc5b16d]

perso je suis plus physicien que mathématicien donc j'évite de me poser les questions embarassantes lol (quoique bcp de prof de maths que j'ai connus se posent rarement de questions sur les développements limités, du prof de lycée à la médaille fields....)

plus sérieusement, tant que la fonction est bien régulière c'est bon, ici on peut dérivée à l'infini alors on est tranquilles !!

sinon je sais pas quel est le but et le contexte de tes recherches, mais ne te fatigue pas trop quand même sur un DL comme ça