fonction f telle que f(2x) = f(x)

[invitebf1c7122]

Bonjour, pourriez vous me dire si mon raisonnement pour résoudre la question suivante est juste? Merci d'avance.
Enoncé: Soit f une fonction continue sur R (ensemble des nombres réels) telle que pour tout x appartenant à R , on a f(x) = f(2x). Montrer que f est constante.

Ona f(x) = f(1/2 x) = f (1/4 x) = ... = f (1/(2ⁿ x). donc quand n tend vers l'infini on a f(x) = f(0). donc f est constante.( ce raisonnement est surement faux puisque je n'utilise pas le fait que f est continue).
-----

[Médiat]

donc quand n tend vers l'infini on a f(x) = f(0). donc f est constante.( ce raisonnement est surement faux puisque je n'utilise pas le fait que f est continue).

Quelle est la propriété de f qui te permets d'affirmer ce qui est en gras ?

Néanmoins ce que tu dis est très mal dit, j'aurais préféré que tu écrives

le deuxième égal étant justement l'expresion de la continuité en 0