séries de Fourier d'une fonction composite en puissance de sinus

[invitea774bcd7]

Bonjour à tous et désolé pour ce titre à rallonge

Voilà, imaginons la fonction sur avec n pair positif. La décomposition en série de Fourier de cette fonction est exact; c'est une linéarisation. Ça veut dire que les coefficients de Fourier sont strictement nuls pour k>n.

Maintenant, toujours sur l'intervalle , je me construis une fonction « composite » faisant intervenir des puissances différentes de sinus. Cette fonction composite doit quand même être partout continue ainsi que sa dérivée.
Je me suis construit une telle fonction composite comme suit :

Là encore, les entiers {n,m,p} sont pairs positifs. La décomposition en série de Fourier de g(x) n'est plus exacte.

Est-ce que c'est évident que la série de Fourier ne soit plus exacte pour g(x) ? Les coefficients pour k>Max[n,m,p] vont à zéro quand même. Est-il possible de quantifier cette convergence ?

Merci d'avance
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[invitea774bcd7]

Un petit « up » pour la forme…

[invitea774bcd7]

Bon…

Je continue de mon côté
J'ai pris au hasard les exposants n=4, m=10, p=16 dans ma fonction g(x). Je la décompose en série de Fourier (plus seulement sur des cos(kx), g(x) n'est plus paire…)

En fonction de l'ordre k de l'expansion de la série de Fourier , je calcule
J'obtiens ça :



Ça tend pas vraiment vers une droite, difficile à dire… Donc, ça doit converger plus lentement qu'une exponentielle je dirais…
Est-ce que c'est un bon critère de convergence de regarder l'intégrale ci-dessus ?