Demonstration de la completude d'un groupe

[inviteb5c686f6]

salut,
je bloque en ce moment sur la demonstration de la completude d'un groupe archimédien en partant de l'hypothese que G (groupe archimedien) verifie la propriété de la borne supérieur.
Cette demonstration ce trouve dans le bouquin d'Analyse de l'auteur J.M.Arnaudiès (page 13)
Il tente de construire une suite à partir d'une suite de cauchy dont la convergence reste à prouver.
La construction est simple et ce fait en deux étapes :
La premiere consiste a créer un ensemble U tel que :

puis la seconde étape creer la suite tel que:


C'est a ce moment que mon esprit ne comprend plus rien puisque l'auteur affirme sans démonstration que la suite est décroissante et minorer. Est-ce aussi evident ????

Si je poste ici c'est vraiment que j'ai epuisé mon esprit car selon moi si nous prenons par exemple une suite croissante et majorer et que nous construisons la suite alors le sup de tous les ensemble s (constituer des élements de la suite b a partir du rang n) sera toujours la même ainsi la suite est constante est correspond à la limite de la suite b

L'auteur Arnaudiès est réputé pour sa rigueur et l'ensemble des Tomes " cours de mathématiques" pour leurs qualités et leurs détails,
c pas l'impression que j'ai en lisant avec soins les premières pages.

J'espere que quelqun aura une idée a m'apporter il y a certainement quelque chose que j'ai oublié.
Merci d'avance
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[inviteaeeb6d8b]

Bonjour,

As-tu remarqué que la suite est décroissante au sens de l'inclusion :



Donc

[inviteb5c686f6]

merci pour ton aide romain mais le sup d'un ensemble correspond au plus grand des majorants contenu dans l'ensemble or U_n+1 et U_n on certainement la meme borne supérieur si u_n est croissante, majoré et ainsi la suite a_n construite à partir des U_n sera constante.

Par contre sa marche si u_n est décroissante et en effet il y a une décroissance des sup suivant l'inclusion et ainsi la suite a_n construite à partir des U_n sera décroissante.

En fait jpense que la solution réside en remarquant qu'une suite constante est à fortiori une suite décroissante dans ce cas les deux situation sont vérifiées.

[inviteaeeb6d8b]

Il n'y aucun problème : Une suite décroissante n'est pas une suite strictement décroissante... tout comme le symbole signifie "plus petit ou égal".

[A voir en vidéo sur Futura]