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Polynôme et séries formelles



  1. #1
    jrouik

    Polynôme et séries formelles

    Coucou,

    J'ai besoin de démontrer que K[X] (anneau des polynômes) est dense dans K[[X]] (anneau des séries formelles) et je n'y arrive pas pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?

    Merci d'avance.

    -----


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  3. #2
    Taar

    Re : Polynôme et séries formelles

    Citation Envoyé par jrouik Voir le message
    Coucou,

    J'ai besoin de démontrer que K[X] (anneau des polynômes) est dense dans K[[X]] (anneau des séries formelles) et je n'y arrive pas pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?

    Merci d'avance.
    Bonsoir.

    Si tu as une série formelle f, tu dois prouver qu'il existe un polynôme P qui approche f d'aussi près que tu veux.

    Autrement dit, pour tout entier n, qu'il existe un polynôme P tel que la valuation de f-P soit plus grande ou égale à n.

    Il suffit pour cela de tronquer f au degré n-1.

    Taar.

  4. #3
    jrouik

    Re : Polynôme et séries formelles

    Citation Envoyé par Taar Voir le message
    Bonsoir.

    Si tu as une série formelle f, tu dois prouver qu'il existe un polynôme P qui approche f d'aussi près que tu veux.

    Autrement dit, pour tout entier n, qu'il existe un polynôme P tel que la valuation de f-P soit plus grande ou égale à n.

    Il suffit pour cela de tronquer f au degré n-1.

    Taar.
    Merci beaucoup de ton aide!! Je me permets de te demander des petits éclaircissements tout de même.
    Ta définition de la densité je peux l'utiliser parce que je suis dans un espace métrique c'est bien ça ?

    Si la valuation de f-P est plus grande ou égale à n ça veut dire fk=Pk pour k plus petit que n et donc la série et le polynôme sont égaux c'est bien cela ?

    Une série formelle à un degré ?Je n'ai pas compris pourquoi il suffit de tronquer f au dégré n-1? je ne comprends pas en quoi ça répond au problème??

    Merci encore d'avance de ton aide !!

  5. #4
    Taar

    Re : Polynôme et séries formelles

    Citation Envoyé par jrouik Voir le message
    Ta définition de la densité je peux l'utiliser parce que je suis dans un espace métrique c'est bien ça ?
    Oui, tu es bien dans un espace métrique. Et la distance est même ultramétrique...

    Citation Envoyé par jrouik Voir le message
    Si la valuation de f-P est plus grande ou égale à n ça veut dire fk=Pk pour k plus petit que n
    Exactement.

    Citation Envoyé par jrouik Voir le message
    et donc la série et le polynôme sont égaux c'est bien cela ?

    Une série formelle à un degré ?Je n'ai pas compris pourquoi il suffit de tronquer f au dégré n-1? je ne comprends pas en quoi ça répond au problème??
    La série formelle n'a pas de degré en général. La tronquer au degré n-1 consiste à garder uniquement dans la somme les monômes de degré inférieur ou égal à n-1.

    La série et le polynôme ne sont pas égaux. Le polynôme est juste une approximation de la série (vis-à-vis de la distance associée à la valuation), et tu peux le choisir aussi proche que tu veux (il suffit de tronquer la série à un degré assez grand).

    Taar.

  6. #5
    jrouik

    Re : Polynôme et séries formelles

    ha oui d'accord c'est bon ha merci beaucoup j'avais tout ça dans la tête mais de manière un peu floue, c'est clair pour moi maintenant merci beaucoup ...

    Je viens de constater que j'ai un nouveau souci dans le même exercice et je n'ai pas envie de rouvrir un topic pour ça alors je me permets de te poser la question : Comment réécrire formellement l'union (pour j dans J) de l'intersection (pour k dans K) des Ajk ? Je sais que c'est la distributivité mais je suis incapable de l'écrire formellement et je rame depuis déjà longtemps ... Tu peux m'aider encore un peu s'il te plaît ?

    Merci d'avance.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    taladris

    Re : Polynôme et séries formelles

    Bonjour,

    quelle est la distance utilisée? D'après les réponses, j'imagine que c'est d(F,G)=exp(-v(F-G)) où v désigne la valutation.

    Existe-t-il d'autres distances et/ou topologie "intéressantes" sur l'espace des séries formelles?

    Cordialement,

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