Intégrale double et domaine de definition

[invite1cb1e1ae]

Bonjour à tous,
J'aurais besoin d'une petite explication concernant les ensembles de définitions des intégrales doubles; je ne sais pas comment faire pour trouver l'ensemble de x et de y quand le domaine de définition est donné sous la forme d'inégalités.
Exemple : D={(x,y) tq 0≤x≤y≤1}
ou encore D={(x,y) tq x≥0, y≥0, x+y≤1}
et le dernier D={(x,y) tq y≥x², y1}

Merci pour votre aide
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[Flyingsquirrel]

Salut,

je ne sais pas comment faire pour trouver l'ensemble de x et de y quand le domaine de définition est donné sous la forme d'inégalités.
Exemple : D={(x,y) tq 0≤x≤y≤1}

On peut voir le domaine en traçant les droites qui le délimitent. Dans ce cas on trace les droites , et d'équations respectives , et (ces équations correspondent aux cas d'égalité dans les inégalités). L'ensemble cherché est situé sous (car ), à droite de (car ) et « à gauche de » (car ). Au final on obtient l'intérieur du triangle de sommets , et .

ou encore D={(x,y) tq x≥0, y≥0, x+y≤1}
et le dernier D={(x,y) tq y≥x², y1}

Idem, trace les droites correspondant aux cas d'égalité et tu devrais trouver à quoi correspondent ces domaines. N'hésites pas à demander de l'aide si tu n'y arrives pas.

[invite1cb1e1ae]

Merci beaucoup pour tes conseils!
J'ai 3 autres petites questions...
- Je ne vois pas comment calculer sur D:{(x, y)/x²+y² ≤ a²} l'intégrale double de rac(a²-x²-y²)?
- en intégrant par changement de variable l'int double de exp((-x²+y²)/2) sur R², je ne comprend pas pourquoi le domaine de definition devient R+ pour l'un et (0; pi/2)?
- est ce que l'int double de exp((-x²+y²/2) sur R² = 2int double exp((-x²+y²)/2) sur le domaine (O; +inf)?

Merci d'avance de votre aide!

[Flyingsquirrel]

J'ai 3 autres petites questions...
- Je ne vois pas comment calculer sur D:{(x, y)/x²+y² ≤ a²} l'intégrale double de rac(a²-x²-y²)?

Le domaine d'intégration est un disque centré en l'origine et la fonction que l'on intègre ne dépend que de la distance entre l'origine et le point courant ... tu as tout intérêt à passer en coordonnées polaires.

- en intégrant par changement de variable l'int double de exp((-x²+y²)/2) sur R², je ne comprend pas pourquoi le domaine de definition devient R+ pour l'un et (0; pi/2)?

J'imagine que c'est à cause des symétries. Comme , on a

(et pareil pour ) Du coup,

Le nouveau domaine d'intégration est donc le premier quadrant. Pour le parcourir avec les coordonnées polaires il faut que l'angle décrive et que le rayon varie de 0 à l'infini.

- est ce que l'int double de exp((-x²+y²/2) sur R² = 2int double exp((-x²+y²)/2) sur le domaine (O; +inf)?

Non, voir ci-dessus.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1cb1e1ae]

Salut! merci beaucoup pour ta rapidité!
Du coup, j'en profite encore un peu pour te poser plusieurs questions...

1/ Je n'arrive pas du tout à intégrer les deux fonctions suivantes sur le domaine D= {(x²+y²)≤1, x≥0, y≥0} : intdoubl(x²y^3)dxdy, et intdoubl(2x+y²)dxdy.
Je me trompe peut-être dur le domaine de def : x[o;1], et y[0;rac(1-x²]?

2/ Sur le domaine D= {(x²+y²)≤4, x>0, y>0}, je n'arrive pas a calculer intdoubl(1/(rac(x²+y²)), je ne vois pas si je dois faire par partie ou par changement de variable?

3/ si v'(x)= exp(-x²), a quoi est égal v'(x)?

MERCI par avance de tes conseils!!