Chaine de naissance et mort : chaine de Markov

[invite67614aac]

Bonjour !

J'ai quelques petits problèmes sur un exercice de processus aléatoires :

Soit une chaîne de Markov d'espace d'état et de matrice de transition et pour tout , on a :


où est une suite de nombres strictement compris dans

Quelle condition doit satisfaire cette suite pour que la chaîne admette une mesure de probabilité invariante ?

Je essayé de raisonner matriciellement : supposons qu'une telle mesure de probabilité existe (on la note m), alors (m est vecteur propre à droite de Q). J'arrive donc au système d'équations suivant :

pour tout n>0,
et
(les sont les coefficients du vecteur m)
Mais là je bloque complètement...
Quelqun'un a-t-il une idée ?
Merci d'avance !
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[invite8bc5b16d]

Salut,

je n'ai pas fait les calculs pour voir si ca marche, je te suggère juste quelques pistes de réflexion :
- as tu exprimé que la somme des probas doit être égale à 1 ?
- as tu essayé de passer par la réversibilité ?

[invite67614aac]

Bonsoir,
merci pour votre réponse. Oui j'ai essayé mais ça ne me donne rien de concluant.. Je crois que je m'y prend mal en fait ! en quoi le fait que la somme des probabilités soit égale à 1 me permet de trouver une condition sur la suite q(x) ?
Merci encore

[invite8bc5b16d]

Bonsoir,
merci pour votre réponse. Oui j'ai essayé mais ça ne me donne rien de concluant.. Je crois que je m'y prend mal en fait ! en quoi le fait que la somme des probabilités soit égale à 1 me permet de trouver une condition sur la suite q(x) ?
Merci encore

sans y avoir réfléchi de trop, je me disais que le fait d'avoir q(n-1)m(n-1) - q(n+1)m(n+1) qui apparaît allait permettre de simplifier pas mal en sommant, pour ne garder que les premiers et derniers termes de la somme, et ainsi pouvoir connaître "précisément" ces termes comme base de départ de la récurrence...

après ca fait longtemps que je n'ai pas fait de chaîne de markov et tous les théorèmes sur les proba invariantes qui pourraient aider sont un peu trop loin dans ma mémoire

[A voir en vidéo sur Futura]