TS - Maths - ROCs

[invite9c9b9968]

Le théorême des gendarmes apparaît dans la liste qui se trouve sur ce site... j'aimerais bien savoir comment démontrer rigoureusement ce théorême, parce que j'ai bien peur de tourner autour du pot en essayant de le démontrer !

Salut g_h,

Cela m'étonnerait que la démo soit exigible d'un TS, à moins que la définition rigoureuse de la limite d'une suite (ou d'une fonction) soit à votre programme.

En voici la démo :

1 Une définition :

On dit que la suite (ici réelle pour simplifier) (u_n) admet l pour limite quand n tend vers l'infini ssi pour tout il existe un entier [/tex] n_0 [/tex] tel que pour tout on ait .

De manière imagée, cela signifie que l'on peut choisir epsilon aussi petit que l'on veut, on pourra toujours trouver un entier n tel que u_n soit près de l à epsilon près : u_n se rapproche de plus en plus de l quand n grandit, (u_n) tend vers l quand n tend vers l'infini.

2 La démonstration :

Soit (u_n), (v_n) et (w_n) trois suites vérifiant : il existe tel que pour tout on a .

De plus on suppose que .

Soit .

D'après les hypothèses et la définition d'une limite il existe deux entiers n1 et n2 tels que :
_ pour tout on a

_ pour tout on a


Soit n3= min (n0,n1,n2). Pour tout on a et , et l'inégalité entre les trois suites (u_n), (v_n) et (w_n) est vérifiée.

On va maintenant encadrer la différence (v_n -l) entre -epsilon et + epsilon, sachant que la valeur absolue vérifie .

On a, pour tout , , donc

Pour tout on a : la suite (v_n) admet donc, au vu de la définition, l comme limite en .
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[invite97a92052]

Salut g_h,

Cela m'étonnerait que la démo soit exigible d'un TS, à moins que la définition rigoureuse de la limite d'une suite (ou d'une fonction) soit à votre programme.

En voici la démo :

1 Une définition :

On dit que la suite (ici réelle pour simplifier) (u_n) admet l pour limite quand n tend vers l'infini ssi pour tout il existe un entier [/tex] n_0 [/tex] tel que pour tout on ait .

De manière imagée, cela signifie que l'on peut choisir epsilon aussi petit que l'on veut, on pourra toujours trouver un entier n tel que u_n soit près de l à epsilon près : u_n se rapproche de plus en plus de l quand n grandit, (u_n) tend vers l quand n tend vers l'infini.

2 La démonstration :

Soit (u_n), (v_n) et (w_n) trois suites vérifiant : il existe tel que pour tout on a .

De plus on suppose que .

Soit .

D'après les hypothèses et la définition d'une limite il existe deux entiers n1 et n2 tels que :
_ pour tout on a

_ pour tout on a


Soit n3= min (n0,n1,n2). Pour tout on a et , et l'inégalité entre les trois suites (u_n), (v_n) et (w_n) est vérifiée.

On va maintenant encadrer la différence (v_n -l) entre -epsilon et + epsilon, sachant que la valeur absolue vérifie .

On a, pour tout , , donc

Pour tout on a : la suite (v_n) admet donc, au vu de la définition, l comme limite en .

Hmm, merci pour cette incursion chez les limites... !
sinon, le théorême des gendarmes demandé est celui qui s'applique aux fonctions. mais le raisonnement est le même apparemment... (mais la version "suites" est simplement admise en terminale)
J'ai vérifié dans un bouquin de TS, et le théorême des gendarmes y est bien démontré en fait...

Je recopie :

Enoncé du théorême :
Si pour tout appartenant à , on a et , alors
(je passe le cas ou en est en , c'est la même chose)

Démonstration :
Soit un intervalle ouvert quelconque contenant le réel
Puisque , il existe un réel tel que entraîne .
De même, puisque , il existe un réel tel que entraîne .

Si on choisit un réel tel que et , alors si , on a et .
Or, , donc on a aussi .
Ce qui démontre

Peut-être ont-ils oublié de préciser que devait être nécessairement supérieur à


D'ailleurs, ne te serais-tu pas trompé, en écrivant n3= min (n0,n1,n2) ? Ne serait-ce pas plutôt n3= max (n0,n1,n2) ?


Mais merci bien !

[invite39dcaf7a]

Juste, il n'y a toujours pas de lien récapitulatif sur les ROC's à part le lien de lauriee ?

[invite9c9b9968]

Oui g_h, tu as raison je voulais dire max, pas min (sinon ça n'a pas de sens...)

Bon je ne comprend pas la logique du programme de TS : cette démo est exactement la même que celle que je fais, en remplaçant n par A en gros.. Alors pourquoi admettre le théorème des gendarmes pour les suites si on le démontre pour les fonctions ? (sachant qu'une suite n'est jamais qu'une fonction de N dans R...)

Enfin bref, je constate que depuis mon départ de TS, il y a quand même eu de beaux progrès : la première phrase de ta démo est exactement la définition de la limite de f en + infini (qui est ici L).

Je comprend maintenant un peu mieux pourquoi la démo des gendarmes est à votre programme

[invite4b9cdbca]

Je voulais poser ue petite question... Comment ça se fai qu'on doive connaitre un truc impossible comme la dérivation d'une fonction composée alors que d'autres choses autrement plus simples ne nous sont pas demandées ?
Non parceque, en relisant mon cours, deja j'ai mis 15 minutes à lire la démo et à essayer d'en décortiquer le contenu, et je comprends toujours pas...
Est ce que quelqu'un peut m'aider un peu sur cette dérivation ? Juste me réexpliquer pourquoi on fait certaine étapes (ex : introduire une fonction phi ou je ne sais quoi)
Certains le savent, je suis une biquette en dérivation de fonction composée, il faut absolument que je maitrise ça pour la semaine prochaine !!

Merci pour tout

Kron

[invite97a92052]

Hello kron

Tu as vu en première (avec l'approximation affine et tout ça...) et en terminale (méthode d'euler), que :



avec

Soit f(x) = u(v(x))

f(x+h) = u(v(x+h)) = u(v(x) + h.v'(x) + h.e₁(h))
Et donc que : (je mets sur plusieurs lignes pour la lisibilité)
f(x+h) = u(v(x) + h.v'(x) + h.e₁(h))
= u(v(x))
+ (h.v'(x)
+ h.e₁(h)).u'(v(x))
+ (h.v'(x)
+ h.e₁(h)).e₂(h)

(pourquoi ? car il faut assimiler h.v'(x) + h.e₁(h) à au h, et v(x) au x, si tu veux comparer avec la premiere formule que je donne)

Et en développant :
f(x+h) =
u(v(x))
+ (h.v'(x) + h.e₁(h)).u'(v(x))
+ (h.v'(x) + h.e₁(h)).e₂(h)

= u(v(x)) + h.v'(x).u'(v(x)) + [un énorme truc qui tend vers 0 quand h tend vers 0, que l'on peut assimiler à un epsilon(x)]

tu retrouves donc f(x+h) = u(v(x)) + h.v'(x).u'(v(x)) + h.e₃(h)
avec e₃(h) qui tend vers 0 quand h tend vers 0

donc f'(x) = v'(x).u'(v(x))

il manque certains détails, mais toute l'idée est là

(me demandez pas pourquoi je fais des maths à la place de la philo... )

[invitec314d025]

De manière générale:
f dérivable en x0 admet une limite finie quand x tend vers x0. On appelle cette limite f'(x0).

Posons maintenant:



On a évidemment:



avec

Prenons maintenant une fonction f dérivable en x0 et une fonction g dérivable en f(x0).

On a:



(On définit Eg comme on a définit Ef précédemment).

avec

Ce qui donne :



Or f est dérivable en x0 donc continue en x0, donc f(x) tend vers f(x0) quand x tend vers x0.
On en déduit:



Et finalement:



[EDIT: c'est ce qu'a écrit g_h, présenté à peine différemment ...]

[invite4b9cdbca]

Merci beaucoup, g_h et matthias !
Je vais lire ça à tête reposée, et si je comprends pas un truc je vous fais signe !
Vous êtes vraiment sympas

Kron