question sur matrices

[invite69d45bb4]

bonjour à tous .

Trouver le determinant de la transformation T:
T(M) = AM + MA, et A,M sont des matrices symetriques 2x2

la matrice T(M) sera t elle de dimension 3x3 ?


merci par avance.
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[invitec5eb4b89]

Elle est bizarre cette question :
- si A et M sont des matrices carrées réelles à 2 lignes et 2 colonnes, AM+MA est aussi une matrice carrée réelle à 2 lignes et 2 colonnes.
- on cherche le déterminant de l'application T ou bien le déterminant de la matrice AM+MA avec comme paramètres les coefficients de M (quand A et M sont en plus symétriques) ?

[invite69d45bb4]

oui c'est ça on cherche bien le determinant .

pourrait tu me montrer comment on fait ?

[invitec5eb4b89]

oui c'est ça on cherche bien le determinant .

pourrait tu me montrer comment on fait ?

Ah, je viens de comprendre la question : exprimer le déterminant de l'application T !

Il suffit juste d'exprimer T dans une base de l'espace des matrices symétriques réelles 2x2 que tu choisis. Une fois que tu as choisi ta base, tu peux exprimer la matrice de l'application T dans cette base et calculer son déterminant.

Effectivement, j'ai bien l'impression que la matrice de T dans une telle base sera de dimensions 3 par 3.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite69d45bb4]

en fait ce que je ne comprends pas c'est pourquoi ca sera une matrice 3x3 et qu'est ce que l'on fait de M.

[invitec5eb4b89]

en fait ce que je ne comprends pas c'est pourquoi ca sera une matrice 3x3 et qu'est ce que l'on fait de M.

Ce qui te trouble, c'est que l'on doit exprimer sous forme de matrice une application qui transforme elle-même des matrices. Il faut se concentrer sur l'application elle même (T) et considérer que les matrices A et M ne sont que des vecteurs d'un certain espace vectoriel (l'ensemble des matrices carrées symétriques réelles muni de l'addition et de la multiplication par un scalaire réel).

En fait le problème qui t'est posé est le suivant : soit T une application linéaire

Quel est le déterminant de T ?

Ce que tu dois faire :
- bien définir ton espace vectoriel de référence E,
- en choisir une base,
- exprimer la matrice de T dans cette base,
- calculer son déterminant.
Si ce n'est pas précisé dans l'énoncé, ou si ce n'est pas évident, il faudra aussi démontrer au passage que T est bien une application linéaire.

Ta question sur l'utilité de la matrice M me suggère que tu dois encore travailler sur ce qu'est E dans le cadre de ton problème.

[invite69d45bb4]

c'est l'espace vectoriel des matrice carrées reelles d'ordre 2 sa dimension est donc 2x2

pour la base :

e1=1 0
0 0

e2=0 1
1 0


e3=0 0
0 1

puis je prend une matrice quelconque :

A=a b
b c

et ensuite je prends la matrice M

M=e f
f g

mais quand je fait la somme de AM+MA
j'obtient toujours une matrice 2x2.


donc apres je ne sais pas comment faire la suite

[invitec5eb4b89]

Super !
Maintenant que tu as défini e1, e2 et e3, tu peux exprimer T(e1), T(e2) et T(e3) !

[thepasboss]

Hmmmm... L'espace des matrices carré réels est de dimension 2*2 = 4, et donc la base est composée de trois vecteurs... oO ?

Incompréhension totale de ma part sur ce coup là, la matrice sera de taille 4x4 !

[invitec5eb4b89]

Hmmmm... L'espace des matrices carré réels est de dimension 2*2 = 4, et donc la base est composée de trois vecteurs... oO ?

Incompréhension totale de ma part sur ce coup là, la matrice sera de taille 4x4 !

Ben non parce qu'on travaille dans l'espace vectoriel des matrices carrées symétriques réelles de dimensions 2 x 2.

[invite69d45bb4]

j'arrive pas calculer T(e1) T(e2) T(e3) par contre je trouve toujour une matrice 2x2

[invitec5eb4b89]

j'arrive pas calculer T(e1) T(e2) T(e3) par contre je trouve toujour une matrice 2x2

C'est assez fastidieux à écrire sous LaTeX, aussi je vais juste commencer le calcul pour T(e1), je te laisse le finir et le faire pour les autres vecteurs de la base :


Le but est de trouver les coefficients t11, t12 et t13 en fonction des coefficients de la matrice A.

[invite69d45bb4]

euh je ne comprends rien a ce ke tu vien de marquer. j'arrive meme pas à calculer T(e1)

[invite69d45bb4]

jai trouver la matrice T(M)=2a 2b 0
b a+c b
0 2b 2c


et ensuite le determinant se calcule sans probleme d'ailleur d'apres mes calculs il est egal à tr(A)x det(A)



sauf erreurs de calculs ou etourderies.

[thepasboss]

Oups méa culpa, j'avais pas vu le symétrique ><

[invitec5eb4b89]

jai trouver la matrice T(M)=2a 2b 0
b a+c b
0 2b 2c


et ensuite le determinant se calcule sans probleme d'ailleur d'apres mes calculs il est egal à tr(A)x det(A)



sauf erreurs de calculs ou etourderies.

Je crois que c'est faux ! Détaille le calcul pour T(e1) !

[invite69d45bb4]

T(e1)=2a b
b 0


=2ae1 be2 + 0e3


car

a b x 1 0
b 0 0 0

=

2a b
b 0

[invite69d45bb4]

euh c'est T(e1)=2ae1+be2+oe3

[invite69d45bb4]

oups je l'ai mis en colonne alor quil fallai le mettre en ligne donc les coef de la premiere ligne sont bien 2a ; b ; et 0

[inviteaf1870ed]

jai trouver la matrice T(M)=2a 2b 0
b a+c b
0 2b 2c


et ensuite le determinant se calcule sans probleme d'ailleur d'apres mes calculs il est egal à tr(A)x det(A)



sauf erreurs de calculs ou etourderies.

Je trouve la meme chose que toi avec le déterminant = 4 Tr(A)det(A)

[invite69d45bb4]

dsl erreur d'inatention j'ai oublier le 4

[invite69d45bb4]

juste un petit truc que je ne comprends pas la base de la matrice symetrique T(M) devrait etre composé de 6 element comme elle est de dimension 6 car la dimension de l'espace vectoriel des matrice symetrique d'ordre n est n*(n+1)/2. or ellle n'a que 3 elements cad
e1 ; e2 et e3..

pouvez vous m'expliquez svp ?

[inviteaf1870ed]

n=2 ici donc dim =2*3/2=3

[invite69d45bb4]

oulala dsl jai fai effectivement une grosse boulette dsl

[invitec5eb4b89]

Trop tard !