petite équation

[leptiflo]

résoudre l'équation E ((z+1)/(z-1))^n=e^(inθ) avec θ ∈ ]0,2π/n[
merci d'avance pour vos réponses!
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[Armen92]

A la louche (vérifier les détails et notamment la restriction sur theta) : (z+1)/(z-1)= i theta+ k (2pi/n), d'où z=(i theta+ k (2pi/n)+1)/(i theta+ k (2pi/n)-1)

[breukin]

C'est quoi "E" ? Le nom de l'équation, ou une fonction E (exp ?) que l'on évalue en (z+1)/(z–1), évaluation élevée ensuite à la puissance n ?
Bref :

ou :

voire :

[Armen92]

Je devine que la première égalité est la bonne, d'où la solution proposée...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Armen92]

J'ai lu trop vite : je devine que c'est la deuxième égalité qu'il faut retenir.
L'auteur de l'énoncé devrait préciser ses notations...

[breukin]

Moi, j'imaginais effectivement la première, qui, correctement écrite avec la ponctuation, aussi nécessaire en mathématiques qu'en français (car avant tout, les mathématiques sont du langage) :

Résoudre l'équation (E) : ((z+1)/(z–1))ⁿ = e^inθ, avec θ ∈ ]0,2π/n[

La seconde (équivalente à la troisième, en fait, si E est l'exponentielle) donne :

Résoudre l'équation : expⁿ((z+1)/(z–1)) = e^inθ, avec θ ∈ ]0,2π/n[

[leptiflo]

Résoudre l'équation (E) : ((z+1)/(z–1))n = e^inθ, avec θ ∈ ]0,2π/n[
Escusez-moi il s'agit bien de celle-ci!(E) s'agit bien du nom de l'équation!

[leptiflo]

svp?une petite aide??

[breukin]

Que sais-tu dire de la relation entre deux nombres complexes a et b si on sait que aⁿ=bⁿ ?

[breukin]

Il n'y a aucun souci avec inθ.

Je réitère mon indication à leptiflo en lui suggérant de ne pas utiliser l'aide de poinserré, car elle a les capacités à trouver sans cette aide, à partir de mon indication.

[breukin]

Bon allez, je donne :
(on suppose a et b non nuls)
si , alors a/b est une racine nième de l'unité.

Ici, et
Où est le problème ?

[inviteb3540c06]

Normalement cette équation admet n racines complexes , donc je vais le faire avec ....

l'équation demandée est alors :



Alors tu pose et tu as :

et et

qui admet n racines complexes de la forme :



avec

ensuite il te reste à exprimer z en fonction de Z pour avoir l'ensembles des solutions de l'équation initiale .....


Sinon , la méthode inspirait par breukin (mais dans tous les cas il te restera à isoler z en fonction de a ....) :

(on suppose a et b non nuls)

on pose pose et

ici ( car), tu as donc :

, donc est une racine n-ième de l'unité , donc :

, avec , soit :





Cordialement

[leptiflo]

désolé de répondre maintenant!!!Merci à vous en tout cas!!!

[inviteb3540c06]

une coquille dans la dernière ligne !




cdt

[breukin]

On peut faire plus synthétique, tout en étant parfaitement justifié, en écrivant simplement :

donc :
avec k de 0 à n–1
donc si :

et sinon z n'est pas défini.
Donc en général n solutions, mais n–1 solutions si

[inviteb3540c06]

quelques précisions comme même dans le cas ou , ce n'est pas aussi simple, mais enfin peut être que je me trompe ?


si alors , donc les solutions sont de la forme :

, avec .

on a , si :

<=> <=> <=> <=>

Donc :

* si n est pair , l'équation avec , possède n solutions , avec .

* si n est impair , l'équation avec , possède n-1 solutions , avec .



Cordialement

[breukin]

Oui, vous vous trompez, la parité de n n'intervient pas.
Si n'est pas une racine nième de l'unité, alors les n solutions données par la formule que j'ai fournie sont toutes définies.
Si est une racine nième de l'unité, donc de la forme pour un p donné de 1 à n, alors les n solutions données par la formule que j'ai fournie sont toutes définies sauf une seule, celle où k vaut n-p.