Soit(E,≤) un ensemble ordonné et f une application de E dans lui même. On dit que f est une fermeture de E si :
-f est croissante ( c-à-d pour tout x, y de E² x≤y=>f(x)≤f(y);
-pour tout x de E, f(f(x))=f(x );
-pour tout x de E, f(x)≥x
Soit alors f une fermeture de E, On considère F={x de E/ f(x)=x}
1.montrer que pour tout x de E, l'ensemble Fx={y de E / y≥x} est non vide et que Fx admet un plus petit élément égal à f(x)
2.Soit G inclus dans E. Pour tout x de E, on pose Gx={y de E /y≥x}, et on suppose que Gx admet un plus petit élément noté g(x). Montrer que g est une fermeture et que l'ensemble des points fixes de g est G.
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