sacré nombre pi

[amelie95c]

vous connaissez sûrement la série des 1/n au carré,je crois bien que c'était celle là,1+1/4+1/9...............
elle converge vers pi au carré,avec un coefficient que j'ai oublié

mais moi je ne comprends pas pourquoi on retrouve pi là dedans,il y a sûrement une interprétation géométrique mais je ne vois pas laquelle,un rapport avec un cercle,une boule,que sais-je

donc c'était ma question,le lien de cette série avec la géométrie,puis aussi vers quoi converge la série des 1/n au cube
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[invite4ef352d8]

Salut !

c'est Pi²/6, Je n'ai jammais vu d'interprétation géométrique de cette formule et je suis à peu près sur qu'il n'y en à pas. (si on avait une interprétation géométrique ca donnerait une preuve simple... et il y à pas de preuve aussi élémentaire)

la somme des 1/n^3 ne peut pas s'exprimer simplement.

de facon général on note Zeta(s)= somme des 1/n^s
on sait calculer Zeta(2k) pour k entier (c'est toujours de la forme Pi^(2k)*un rationnel ) mais les Zeta(2k+1) n'ont pas d'expressions simple.

[amelie95c]

merci pour cette réponse silver

donc quelque part ça reste un peu mystérieux,le fait de retrouver le nombre pi dans cette série,et surement dans beaucoup d'autres résultats qui n'ont rien à voir avec des cercles

[invite986312212]

c'est que pi n'a pas à voir qu'avec les cercles. Il a beaucoup à voir avec la fonction exponentielle (complexe).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Skippy le Grand Gourou]

Intéressant tout ça. Pour la biblio (merci wikipédia et merci Ksilver), il s'agit d'une série de Riemann (cas particulier d'une série de Dirichlet).

[GalacticSwirl]

La somme des 1/n² est un résultat que l'on peut retrouver en construisant une fonction périodique (x²) sur ]-pi;pi[ ) et en la décomposant en série de Fourier.

[breukin]

Il y a sûrement une interprétation géométrique, mais je ne vois pas laquelle, un rapport avec un cercle, une boule, que sais-je ?

En géométrie, on trouve du dans le volume de la sphère en dimension 4 (et aussi 5).

[KerLannais]

Bonjour,

Effectivement a tendance à apparaître de façon "incongrue" dans des domaines éloignés de la géométrie. Par exemple, il apparaît dans la formule de Stirling:

Autrement dit a un rapport avec la factorielle

Autre exemple, en probabilité intervient dans la densité de la loi normale:


Il y a d'autres jolies formules pour qui n'ont pas d'interprétation géométrique à priori, comme par exemple la formule de Leibnitz:


Même si on peut invoquer un profond rapport avec l'exponentielle complexe, autant au niveau algébrique que différentielle,, notament incarné par la magnifique formule:

qui fait intervenir les 5 constantes les plus utilisées en mathématiques:
Cela n'explique pas tout (par exemple le lien avec la factorielle est loin d'être évident). Il semble que soit un nombre transcendant qui est loin d'être quelconque, il est régulier au sens où il possède différentes propriétés intéressantes qui font qu'il intervient à divers endroits en mathématiques (un peu comme le nombre d'or qui semble dans un tas de problèmes sans rapports apparents).

[invite986312212]

en probas, pi intervient aussi dans le problème de l'aiguille de Buffon. Dans ce cas, le lien avec la géométrie peut être compris: dans l'analyse du problème il faut faire intervenir une mesure invariante par le groupe des rotations/translations ("rigid motions" je ne sais pas le nom en Français).