Foncteur représentable

[invitecbade190]

Bonjour :
QUelqu'un pourrait-t-il m'expliquer ce qu'on entend par foncteur representable ?
Merci infiniment !
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[invite5f67e63a]

Bonjour :
QUelqu'un pourrait-t-il m'expliquer ce qu'on entend par foncteur representable ?
Merci infiniment !

Un foncteur représentable c'est un foncteur dans la catégorie des ensembles qui soit isomorphe à un foncteur des points d'un objet.

Pour tout objet X d'un catégorie tu définit le foncteur des points de X notés h_X qui va de C dans Ens, et qui a A associe X(A)=Hom(A,X) (les "A-points de X") bienj surn a toute fleche A->B il associe la fleche X(B)->X(A) donné par A->B->X (qui est donc contravarient).

Maintenant si tu as un foncteur F de C dans Ens qui est isomorphe à un h_X tu dit que F est représentable et qu'un tel X représente F (X étant unique a isomorphisme unique pres, c'est le lemme de yoneda) on choisit un X qu'on trouve plus beau que les autres et on l'appelle LE représentant.

UN exemple valant mieux qu'un long discours.

Considère le foncteur qui va de la catégorie des esp vect sur k dans Ens, qui a E associe Hom(A,E)xHom(A,E) et bien ce foncteur est représenté par puisque s'identifie à Hom(A,E)².

Et si le foncteur est covariant...on travaille dans la catégorie opposée.

[invitecbade190]

Bonsoir,

Ce fil date de très longtemps. Je me permets de le remonter en surface en vous posant la question suivante :

Est ce que vous pouvez m'expliquer si un module injectif ( resp. projectif ) est solution d'un problème universel ? Si oui, il représentent quel foncteurs ?

Merci d'avance.

[invitecbade190]

Besoin d'aide svp.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecbade190]

Bonjour,

J'ai lu quelques part, que si : est un morphisme d'une catégorie tel que la transformation naturelle : est un isomorphisme, alors est un isomorphisme. Pouvez vous m'expliquer pourquoi ?

Merci d'avance.

[invite47ecce17]

Sans doute Yoneda le pourrait

[invitecbade190]

Tu veux dire que, d'après le lemme de Yoneda, les morphismes d'une catégorie se plonge dans la catégorie des transformations naturelles entre les foncteurs représentables ? Merci, j'ai compris.

[invite47ecce17]

Non, je veux dire que l'application Hom(A,B)->Hom(h_A, h_B) est une bijection (bi-fonctorielle en A et B).

[invitecbade190]

Ok, merci beaucoup.