Bonjour.
Je ne comprends pas très bien pourquoi un morphisme de foncteur est défini comme il l'est dans les livres de théorie des catégories.
Cela vient très probablement du fait que je n'ai pas bien compris la structure de foncteur ; je me souviens que je trouvais également arbitraire la définition de morphisme pour les K-espaces vectoriels (que les morphismes soient uniquement les applications linéaires) et que tout est devenu clair quand j'ai vu la structure (en théorie des modèles) des K-espaces vectoriels.
C'est pourquoi, il me semble que ce dont j'ai besoin est de la définition précise de la structure d'un foncteur, parce que visiblement celle que je me représente ne correspond pas.
J'explique mon interrogation dans le cas des isomorphismes de foncteurs (pour pouvoir inverser les flèches ce qui, pour ma part, aide à mieux visualiser les chemins) :
Ici F et G sont des foncteurs.
Pour le moment, pour moi un isomorphisme de foncteur selon la structure que j'ai en tête (qui est fausse ou incomplète) associe à chaque morphisme f unet un
Pour respecter la structure de foncteur on impose alors que si des flèches a et b se suivent on a
Pourquoi pour moi c'est ça ? Parce qu'au niveau du sens pour chaque f on veut aller de F(f) à G(f), et pour ça on peut trouver une flèche à droite et à gauche tels que par la composition on arrive à ce qu'on veut. Donc j'en suis à choisir pour chaque flèche deux autres flèches qui dépendent ce celle ci.
Mon vrai problème réside précisément en ce que vous avez sans doute trouvé bizarre si vous n'avez pas suivi le même cheminement de pensée que moi :
Si f et g ont même domaine et codomaine, alors on devrait avoir (pour coller à la définition usuelle d'isomorphisme de foncteur) :
En gros, soit ma structure est bonne (donc équivalente à l'usuelle) et si a et b se suivent on a
Soit ma structure est mauvaise et c'est toute la question ^^.
Dans tous les cas je vous remercie de me répondre, bonne journée !
-----