Espace des dérivations algébriques

invitecbade190 · 28/08/2015, 16h45

Bonjour,

Soit $\text{[math]}$ une $\text{[math]}$ -algèbre ( $\text{[math]}$ un corps algébriquement clos ), et $\text{[math]}$ un $\text{[math]}$ -module.
Par définition : $\text{[math]}$ .

Montrer que, si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont deux $\text{[math]}$ -algèbres, et $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ un $\text{[math]}$ - module, alors :
$\text{[math]}$

Merci d'avance pour tout type d'aide de votre part.

invitecbade190 · 28/08/2015, 18h32

L'isomorphisme est peut être ce qui suit :
$\text{[math]}$ défini par :
$\text{[math]}$
non ? Mais, avant, il faut établir que $\text{[math]}$ est injectif puis surjectif pour affirmer au final que c'est un isomorphisme.
Comment est définie : $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ ?
Merci d'avance.

invitecbade190 · 28/08/2015, 21h22

$\text{[math]}$ est surjectif, parce que, pour : $\text{[math]}$ quelconque, on peut trouver $\text{[math]}$ tel que : $\text{[math]}$ . Il suffit de prendre : $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
En effet, et d'après ce qui précède : $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ est injectif, parce que :
$\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ implique que : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .
Et puisque : $\text{[math]}$ , alors : $\text{[math]}$ . Par conséquent : $\text{[math]}$ .
D'où l'injectivité.
Qu'est ce que vous en pensez ?
J'ai un peu de doutes lorsque j'écris :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Est - elle juste ?

invitecbade190 · 29/08/2015, 14h50

Bonjour à tous,

J'espère qu'il y'aura quelqu'un pour me répondre cette fois çi.

Soient $\text{[math]}$ une variété algébrique, $\text{[math]}$ l’anneau local en un point $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ son idéal maximal. On pose $\text{[math]}$ et l’on note : $\text{[math]}$ le morphisme d’algèbres $\text{[math]}$ . C’est l’évaluation en $\text{[math]}$ , c.-à-d., pour tout $\text{[math]}$ on a : $\text{[math]}$ .

Voici ce que je ne saisis pas bien dans ce qui se dit dans mon cours :

Comme $\text{[math]}$ , alors le dual $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ s'identifie au sous espace des $\text{[math]}$ telles que : $\text{[math]}$

Pouvez vous m'expliquer ce passage en détail ?

Merci d'avance.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitecbade190 · 29/08/2015, 15h33

X est une variété algébrique. Comme pour les variétés complexes et différentiables, $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .
Ensuite, $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ .
Il reste à savoir pourquoi : $\text{[math]}$ .
Pouvez vous m'expliquer pourquoi svp ?
Merci d'avance.

invitecbade190 · 29/08/2015, 15h34

$\text{[math]}$ est une variété algébrique. Comme pour les variétés complexes et différentiables, $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .
Ensuite, $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ .
Il reste à savoir pourquoi : $\text{[math]}$ .
Pouvez vous m'expliquer pourquoi svp ?
Merci d'avance.

invitecbade190 · 29/08/2015, 16h59

svp, secours, ça doit être super simple, mais, mais yeuix sont complètement plongés dans le flou.
Si : $\text{[math]}$ , alors : $\text{[math]}$ , et donc : $\text{[math]}$
On cherche à montrer que : $\text{[math]}$ .
Pourquoi : $\text{[math]}$ ?
Merci.

NB : cela semble être facile à comprendre : $\text{[math]}$
En passant au complémentaire, on obtient le résultat. Est ce qu'il est correct mon raisonnement ?

invitecbade190 · 29/08/2015, 17h32

Pourquoi : $\text{[math]}$ ?
Merci d'avance.

invitecbade190 · 29/08/2015, 22h57

svp, un tout petit coup de main pour avancer.
Merci d'avance.

invitecbade190 · 30/08/2015, 18h46

Salut :

L'isomorphisme : $\text{[math]}$ me fait penser au fait que : $\text{[math]}$ représente peut être, le foncteur : $\text{[math]}$ , et donc, si on arrive à montrer ça, dans ce cas là : $\text{[math]}$ tel que : $\text{[math]}$ , d'où l'isomorphisme. Est ce que c'est bien ça ?

Merci d'avance.

invitecbade190 · 09/09/2015, 20h50

Bonjour à tous,

On pose : $\text{[math]}$ la catégorie des revêtements de $\text{[math]}$ avec seulement une famille finie de composants connexes ( Les morphismes sont les morphismes de revêtements ).
On définit le foncteur : $\text{[math]}$ qui associe pour tout revêtement $\text{[math]}$ , l’ensemble : $\text{[math]}$ .
Ma question est donc, de savoir pourquoi le foncteur $\text{[math]}$ est représentable par le revêtement universel : $\text{[math]}$ ? En d'autres termes, pourquoi : $\text{[math]}$ ( Fonctorialité en $\text{[math]}$ ).
Quelle propriété relative à la classification des revêtements utilise-t-on pour affirmer ça ?

Merci d'avance.

inviteded0667c · 10/09/2015, 02h38

Salut ! Il y a une petite erreur dans votre définition de la dérivation mais peu importe je vous transmets un lien répondant à toutes vos question : https://www.google.fr/url?sa=t&sourc...VbGJy8iDmN8EtA

invitecbade190 · 10/09/2015, 11h19

Salut :
Merci pour ton intérêt que tu portes au sujet.
La réponse à la dernière question ne se trouve pas dans ton lien.
Merci d'avance pour l'aide.

invite47ecce17 · 10/09/2015, 12h15

Envoyé par chentouf

Bonjour à tous,

On pose : $\text{[math]}$ la catégorie des revêtements de $\text{[math]}$ avec seulement une famille finie de composants connexes ( Les morphismes sont les morphismes de revêtements ).
On définit le foncteur : $\text{[math]}$ qui associe pour tout revêtement $\text{[math]}$ , l’ensemble : $\text{[math]}$ .
Ma question est donc, de savoir pourquoi le foncteur $\text{[math]}$ est représentable par le revêtement universel : $\text{[math]}$ ? En d'autres termes, pourquoi : $\text{[math]}$ ( Fonctorialité en $\text{[math]}$ ).
Quelle propriété relative à la classification des revêtements utilise-t-on pour affirmer ça ?

Merci d'avance.

Si Y->B est une application continue et X un revetement de B, alors si Y est connexe et que l'on se donne deux relevements Y->X de Y->B qui coinicide en n'importe quel point, alors ils sont égaux. Ca te donne l'injectivité de Hom(Xtilde, Y)->F(Y). Pour la surjectivité, cela resulte de la proposition suivante. Soit X un revetement de B, et Y loc connexe et loc connexe par arcs, alors si on se donne Y->B une application continue, un relevement Y>X existe ssi l'image du pi_1(X,x) contient dans celle du pi_1(Y), ce qui est bien sur le cas (avec les hypotheses usuelles de semi locale connexité sur B) si Y est le revetement universel.

invitecbade190 · 10/09/2015, 12h53

Merci, mais, je ne comprends pas le rôle de la fibre $\text{[math]}$ dans cet énoncé. Peux tu me l'expliquer stp ?
Merci d'avance.

invite47ecce17 · 10/09/2015, 13h15

Si tu regardes la catégorie des revetement possedant un nombre fini de composantes connexes, alors chaque composante connexe est un ouvert-fermé du revetement en question et donc muni de la restriction de la projection, c'est un revetement (connexe) de la base.
Si tu as deux morphismes Y->X (où X et Y sont des revetement), f et g disons. Alors notons Y_i les composantes connexes de Y, tu disposes de morphismes f_i, g_i de Y_i dans X, si f et g coincident sur la fibre en b alors comme chaque Y_i contient une preimage de b, f_i et g_i coincident sur Y_i (par le resultat que j'énoncé) et donc f et g coincident sur Y.

invitecbade190 · 10/09/2015, 13h45

Bravo à toi. Tu semble être un ténor en maths. Comment faire pour devenir comme toi ?

invite47ecce17 · 10/09/2015, 13h48

Non, je suis meme plutot mauvaise en fait.
Et y a pas de secret, il faut y passer du temps, et notament "secher" et ne pas apprendre superficiellement.

invitecbade190 · 10/09/2015, 13h56

Tu as une idée sur la théorie des algèbres de Hopf ? ce cours est ma vraie bête noire. Je peux te poser quelques questions dessus ?
Merci d'avance.

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