différentielle seconde d'une composée de fonctions

[invitea04c7d76]

J'ai un exercice dans lequel je dois calculer la différentielle seconde d'une composée de fonction. VOIci exactement l'intitulé du problème :
soient f: et h: on pose g=foh. f et h sont deux fois différentiables. Calculer D²g(t)

Voilà ce que j'ai fait :
on calcule Dg(t)
Dg(t)=Dfoh(t)=Df(h(t))oDh(t) (formule bien connue et démontrée en cours)

D²g(t)=D(Dg(t))=D[Df(h(t))oDh(t)]

Alors D²g(t).k.k'=D[[Df(h(t))oDh(t).k].k'
=D[Df(h(t)).k'](Dh(t).k)+Df(h(t)).(D(Dh(t).k) .k')
=D²f(h(t)).(Dh(t).k')(Dh(t).k) +Df(h(t)).(D(Dh(t).k).k')

Je sais que la formule que j'obtiens est juste car notre prof de cours nous la donnée (sans la démontrer). Ce qui m'embête c'est la façon dont je l'obtiens, en particulier le passage que j'ai mis en rouge. Ici, j'ai fait comme le calcul d'une dérivée de produit, (fg)'=f'g+fg'
mais je ne suis pas sûre d'avoir le droit de faire ça.
La suite de la question est : en déduire g''(t), pour cette question j'ai simplement dit que g''(t)=D²g(t).1.1 et j'ai donc remplacer dans ma formule finale les k et k' par des 1. La question que je me pose c'est est ce que je peux aller plus loin?
Merci de m'éclairer
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[invite5e53c62e]

tu as trouvé la reponse?

[invitecbade190]

Bonjour,

Sauf erreur, il me semble qu'il faut remarquer que, avant de se lancer dans le calcul de la dérivée seconde, comprendre que : est bilinéaire en et , et il y'a une formule qu'on applique, et qu'il faut mémoriser pour toute éventuelle application, lorsque on cherche à différencier une application bilinéaire. C'est plus facile que d'utiliser la définition.